La derivada esférica limitada implica un orden finito

Question

Dejemos que $f$ sea una función entera. El Derivada esférica $\rho(f)$ se define por $$\rho(f)(z):= \frac{|f'(z)|}{1+|f(z)|^2}.$$

Un resultado de Clunie y Hayman afirma que si $\rho(f)$ está acotado, entonces $f$ es de tipo exponencial. La prueba utiliza la maquinaria de la teoría de distribución de valores de Nevanlinna.

Mi pregunta es la siguiente :

¿Existe una prueba "elemental" de que si $\rho(f)$ está acotado, entonces $f$ es de orden finito ?

(Nótese que éste es un resultado más débil, ya que aquí sólo pido un orden finito). Orden finito significa que existen constantes $K$ et $\alpha$ tal que $$|f(z)| \leq Ke^{|z|^\alpha}$$ para todos $z$ .

Motivación : Motivación : Estoy interesado en esto porque llevaría a una demostración rápida del pequeño teorema de Picard. En efecto, si existe una función entera no constante que omita $0$ et $1$ entonces es posible obtener (utilizando técnicas de familias normales) una función entera no constante $f$ que omite $0$ et $1$ y que tiene acotado derivada esférica. Escribe $f=e^g$ para alguna función completa $g$ . Desde $f$ es de orden finito, $g$ es un polinomio. Pero f no toma el valor $1$ por lo que g debe ser constante, una contradicción.

Cualquier referencia es bienvenida, Malik

NOTA: Este es un duplicado de una pregunta en MathOverflow . También lo publico aquí porque no obtuve ninguna respuesta o comentario.

Answer 1

Esbozaré una prueba. Ésta se obtiene aislando las partes relevantes de la teoría de Nevanlinna, y sigo el tratamiento de Nevanlinna de la característica Ahlfors-Shimizu (capítulo VI, sección 3 de su libro).

Supongamos sin pérdida de generalidad que $f(0)=0$ . Sea $f^{\#}(z)$ denotan la derivada esférica, como en el caso anterior. Establezca $$A(r) := \int_{|z|<r} (f^{\#}(z))^2dxdy,$$ así que $A(r)$ es el área esférica de la imagen del disco de radio $r$ . Si $f^{\#}(z)$ está acotado, entonces $$A(r) = O(r^2).$$

Una aplicación del teorema de Green da $$4 A(r) = r\cdot \frac{d}{dr} \int_{0}^{2\pi} \log(1+|f(re^{i\theta})|^2)d\theta.$$ (Le dejaré que compruebe los detalles).

Consideramos la expresión $$m(r) := \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}\log(1+f(re^{i\theta})|^2)d\theta.$$ Por lo anterior, tenemos $$\frac{d}{dr} m(r) = O(r),$$ y por lo tanto $$m(r) = O(r^2)$$ como $r\to\infty$ .

Desde $\log(1+|f|^2)>2\log|f|$ Así pues, tenemos $$\int_0^{2\pi} \log|f(re^{i\theta})|d\theta \leq \operatorname{const}\cdot r^2$$ para todo lo que sea suficientemente grande $r$ . Por la fórmula integral de Poisson para la función armónica $\log|f|$ esto implica que, para $|z|=r/2$ , $$\log|f(z)| \leq \operatorname{const}\cdot r^2=\operatorname{const}\cdot |z|^2.$$ Así que $f$ tiene un orden finito, como se afirma.