Significado físico de la norma de una matriz

Question

Sé que la norma de un vector es la longitud de un vector desde el origen. Entonces, ¿cuál es la motivación para definir la norma de la matriz? ¿Cuál es el significado físico de la norma de una matriz?

Se agradece cualquier ayuda.

Gracias.

Answer 1

En realidad hay múltiples formas de asignar una norma a una matriz, de hecho hay múltiples formas de dar una norma a un vector. Con los vectores en $\mathbb{R}^n$ la opción más "geométricamente atractiva" es la euclidiana

$$\|(x_1,...,x_n)\| = \sqrt{x_1^2 + ... + x_n^2}$$

Sin embargo, hay otros, yo aconsejaría buscar $\ell^p$ -normas.

Una opción "obvia" para una norma matricial es simplemente hacer una norma euclidiana sumando los cuadrados de las entradas y haciendo una raíz cuadrada. Pero el álgebra de la situación sugiere algo más interesante. Es decir, dejemos que $A$ sea una matriz y $x$ un vector de dimensiones adecuadas, y que $\|x\|$ denotan la norma vectorial euclidiana. Entonces damos a la matriz la "norma del operador"

$$\|A\| = \max\limits_{x \in \mathbb{R}^n}\frac{\|Ax\|}{\|x\|}$$

Que representa el máximo que la matriz $A$ estira el vector $x$ en algún sentido. Elegimos el máximo para que la norma sea positiva definida. Si $A$ envía cualquier vector no nulo a un vector no nulo (es decir, $A$ es distinto de cero) entonces $\|A\| > 0$ .

Answer 2

Tomemos una matriz real $A \in \mathbb{R}^{n \times m}$ por ejemplo. Ahora dejemos que esta matriz represente una relación de entrada-salida como $y = Au$ . El $p$ -norma de $A$ es $\sup\limits_{||u||_p \neq 0}\frac{||y||_p}{||u||_p}$ donde $||v||_p$ denota el $p$ -norma del vector $v$ . En otras palabras, es una medida de amplificación de la entrada.

Answer 3

El panorama es especialmente sencillo si se considera una matriz autoadjunta positiva. En este caso, la norma del operador es el mayor valor propio. Desde el punto de vista de la mecánica cuántica, se trata del mayor resultado posible para la variable correspondiente en cualquier experimento.