Si $(a, b,c)$ es una terna Pitagórica con $b, c$ enteros consecutivos, a continuación,$c \mid a^b – 1$, la prueba/la refutación?

Question

Si $(a, b,c)$ es una terna Pitagórica con $b, c$ enteros consecutivos, a continuación,$c \mid a^b – 1$, la prueba/la refutación?

Aquí están algunos ejemplos:

$(3, 4, 5)$ es una terna Pitagórica Primitiva (PPT), $3^2 + 4^2 = 5^2$ donde $4$ $5$ son números enteros consecutivos.

$(3^4 – 1)/5 = 80/5 = 16$

$(5, 12, 13)$ es un PPT, $5^2 + 12^2 = 13^2$ donde $12$ $13$ son números enteros consecutivos.

$(5^{12} – 1)/13 = 244140624/13 = 18780048$

$(7, 24, 25)$ es un PPT, $7^2 + 24^2 = 25^2$ donde $24$ $25$ son números enteros consecutivos.

$(7^{24} – 1)/25 = 191581231380566414400/25 = 7663249255222656576$

Answer 1

He aquí una observación que se completa @MorganO la respuesta. Recordemos que estas tripletas son generados por los enteros positivos $m>n$$(a,b,c)=(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)$. Desde que desee $b$ $c$ a ser consecutivos, se requieren $$c-b=(m-n)^2=(m-n-1)(m-n+1)+1=1$$ which will only work if $m=n+1$. Thus $$ a = 2n+1,\; b=2n(n+1),\; c=2n^2+2n+1$$ and so $4|b$ since $n(n+1)$ debe ser par.

Answer 2

Si $b=c-1$ es divisible por $4$, esto es cierto.

$$a^2+(c-1)^2=c^2 \iff a^2=2c-1.$$

Escribir $b=4k$, y por encima de los rendimientos: $$a^b = (a^2)^{2k} =(2c-1)^{2k} \equiv 1 (\mod c).$$