Creo que estás malinterpretando la declaración.
Cualquiera de los dos fundada modelos de ZF con el mismo ordinales estará de acuerdo en lo finito plana unidad de distancia gráficos, y su cromática números. Esto es debido a la Shoenfield teorema de completitud. (En realidad, mucho más es cierto, si no estoy perdiendo algo, cualquiera de los dos modelos de ZF con la correcta $\omega$ deben ponerse de acuerdo en lo finito plana unidad de distancia gráficos y su cromática números).
Sin embargo, el axioma de elección es necesaria para demostrar que el máximo de estos números es, de hecho, la cromática número de el avión! En ausencia de elección, estos dos números no tienen que ser el mismo.
He aquí un bosquejo de cómo probar que la cromática número de plano es la máxima de la cromática de los números finitos unidad de distancia gráficos, asumiendo elección. En realidad, vamos a probar un resultado más fuerte: que un gráfico arbitrario es $k$-engañosa iff todos sus finito subdiagramas se $k$-engañosa (este es el Erdos-de Bruijn teorema).
Utilizamos ultrafilters (no tenemos, pero son divertidos). Supongamos $G$ es un gráfico; deje $\mathcal{F}$ el conjunto finito de subdiagramas de $G$, y supongamos que cada $F\in\mathcal{F}$ $k$- engañosa. Fijar, para cada una de las $F\in\mathcal{F}$ $k$- colorear $c_F$$F$. Ahora vamos a $\mathcal{U}$ ser un ultrafilter en $\mathcal{F}$ tal que, para cada una de las $F\in\mathcal{F}$, la $\{G\in\mathcal{F}: F\subseteq G\}$ $\mathcal{U}$ (un ultrafilter existe desde que la familia de estos conjuntos tiene la intersección finita de la propiedad).
Ahora vamos a $\chi$ "ultralimit" de la $c_F$s por $\mathcal{U}$: de una ventaja $e\in G$, $\chi(e)=i$ fib $\mathcal{U}$-muchos colorantes $c_F$ ha $c_F(e)=i$. No es difícil comprobar que esto es de hecho una $k$colorear de $G$.
(Estrictamente hablando, esto sólo muestra que la cromática número del avión es en la mayoría de las $k$, pero la otra desigualdad es inmediata.)
