Ayuda a entender el cambio de orden de integración

Question

Tengo un problema que he estado trabajando, con la solución, pero la cosa es que yo realmente no entiendo cómo se hace.

La cuestión, es calcular, $$\int_0^1 \int_{9x^2}^9 x^3\sin(8y^3) \,dy\,dx $$

Ahora, me di cuenta de que vamos a tener que invertir el orden de integración, la primera que tomó nota de que, ahora mismo tengo $$0 \le x \le 1$$ and $$9x^2 \le y \le 9$$ and I tried to consider the graph. This is where I am getting confused, I don't know if I am supposed to consider the area basically above the line $$0\le x\le\sqrt{\frac{y}{9}}$$ and put $0 \le y \le 9$ y la informática. Sé que es lo que debo hacer, pero estoy teniendo un montón de problemas para ver este de la gráfica. Mi disculpa como yo no soy consciente de cómo poner los gráficos en el sitio.

Me refiero a que estoy teniendo problemas con la visualización de lo que se pretende decir $x$ es menor que el valor de $y$, cuando no estamos considerando la región acotada arriba?

Agradezco todas las respuestas y comentarios, idealmente aunque me gustaría una respuesta que incluye gráficos si es posible!

Alguien podría arrojar algo de luz sobre esto? Ps, esto no es tarea y ya tengo la solución final, si alguien quiere comprobar, es $$=\frac{1-\cos(5832)}{7776}$$

Gracias a todos

Answer 1

En 2D normalmente prefiero hacer esto en un dibujo. Déjame hablar a través de cómo iba a dibujar esta imagen.

La región de $0 \leq x \leq 1,9x^2 \leq y \leq 9$ está delimitada por las líneas de $x=0,y=9$ y la curva de $y=9x^2$. Usted puede pensar en los límites que tiene como diciendo que cada una de las $x$$0$$1$, integrar de$9x^2$$9$$y$. Así que esto corresponde a poco los segmentos verticales entre la parábola y la línea horizontal $y=9$.

Ahora quiere ir de otra manera: para cada valor de $y$$0$$9$, ¿cuáles son los posibles valores de $x$ en la región? Estos ahora corresponden a pequeños segmentos horizontales, que debe estar entre la línea vertical $x=0$ y la parábola $y=9x^2$. La solución para $x$ se obtiene que la parábola está dada por $x=\sqrt{y/9}$, por lo que para cada uno de los $y$, $x$ rangos de$0$$\sqrt{y/9}$. Así que su nuevo integrante se parece a $\int_0^9 \int_0^{\sqrt{y/9}} f(x,y) dx dy.$

Answer 2

Ya quisiera una respuesta que incluye un gráfico, he preparado el siguiente sencillo.

Su integral doble

\begin{equation*} I=\int_{0}^{1}\int_{9x^{2}}^{9}x^{3}\sin \left( 8y^{3}\right) \,dy\,dx \end{ecuación*}

es para ser evaluados en la región de $R$ de la 1.san cuadrante acotada por debajo por la gráfica de la función $y=9x^2$, desde arriba por la línea horizontal $y=9$, y desde la izquierda por la línea vertical $x=0$, debido a las desigualdades que se han encontrado, $0 \le x \le 1$$9x^2 \le y \le 9$, definir exactamente $R$, es decir,

\begin{equation*} R=\left\{ (x,y)\in \mathbb{R}^{2}:0\leq x\leq 1,\; 9x^{2}\leq y\leq 9\right\}. \end{ecuación*}

Cómo definir la misma región con un par diferente de las desigualdades? Desde $y=9x^2$ es equivalente a, por $x\ge 0$,$x=\sqrt{y/9}=\sqrt{y}/3$, es claro a partir de la imagen que se puede definir también por las desigualdades $0\leq x\leq \sqrt{y}/3$ y 0$\leq y\leq 9$, como lo han hecho. En símbolos,

\begin{equation*} R=\left\{ (x,y)\in \mathbb{R}^{2}:0\leq x\leq \sqrt{y}/3,\; 0\leq y\leq 9\right\}, \end{ecuación*}

que se traduce en la integral

\begin{equation*} I=\int_{0}^{9}\int_{0}^{ \sqrt{y}/3}x^{3}\sin \left( 8y^{3}\right) \,dx\,dy. \end{ecuación*}