Cómo hacerlo bien en las clases de matemáticas de nivel superior

Question

$ \quad $ Hola a todos, tengo un pequeño problema y sé que esta pregunta ya ha sido discutida antes, pero sólo quiero saber cómo hacerlo bien en los cursos de matemáticas de nivel más alto (Hay una $ \textbf {TL;DR}$ versión de esto en la parte inferior si no tienes ganas de leer un bloque de texto). Actualmente estoy tomando un curso de introducción a la topología (estamos usando Munkres como texto) y me encuentro bastante mal por ahora. Disfruto más haciendo pruebas que con la computación, pero todavía encuentro mis habilidades de prueba estancadas. Todos nuestros trabajos han sido literalmente preguntas del libro de texto y a menudo no sé ni cómo acercarme a las pruebas. A veces escribo la información dada y tal vez una definición o dos, pero aún así me sorprende a veces cómo resolver estas preguntas.

En cuanto a mis antecedentes en matemáticas, nunca he tomado un curso de análisis, tomé un curso de cálculo de una sola variable y un curso llamado Cálculo Avanzado (que para ser honesto era en realidad muy computacional y muy fácil, la idea más teórica que aprendimos fue cómo hacer pruebas épsilon-delta para funciones multivariables, pero no topología euclidiana, que aparentemente es algo común para el curso que tomé pero por alguna razón cuando lo tomé recortaron muchas más cosas teóricas). He tomado otros cursos con más pruebas, incluyendo un curso de álgebra lineal, teoría de grupos, teoría de anillos y polinomios, teoría de números y geometría diferencial (que fue un curso de impar porque las preguntas del libro de texto eran a menudo bastante teóricas, pero nuestros exámenes eran en su mayoría computacionales, como encontrar la primera y segunda forma fundamental o calcular la curvatura gaussiana y cosas así, así que terminé haciéndolo muy bien, ya que lo hago bien en cursos que son sólo de computación. Así que aunque la topología no es mi primera incursión en los cursos de pruebas pesadas, este es ciertamente mi curso más difícil y más riguroso que he tomado. Realmente no sé cómo hacerlo bien en este curso, o al menos no creo que sepa hacerlo bien. A menudo termino encontrando las soluciones a las preguntas porque me siento demasiado frustrado (aunque no lo hago normalmente cuando trabajo en tareas... Realmente odio la sensación de que pueda hacer trampas). Por lo tanto, supongo que la pregunta es realmente el enfoque de cursos como éste, porque realmente quiero tomar más cursos de alto nivel porque encuentro todas estas cosas súper fascinantes (soy un especialista en matemáticas, así que realmente me lo tomo en serio) pero me siento abrumado y estresado la mayor parte del tiempo. Gracias por cualquier respuesta.

$ \textbf {TL;DR}$ Soy un estudiante de matemáticas que ha luchado continuamente en cursos más abstractos e intensivos en pruebas (específicamente ahora mismo un primer curso de topología que estoy tomando) y me gustaría tener algún consejo sobre cómo mejorar en las pruebas y en las matemáticas en general!

Answer 1

Sospecho que tu problema con la topología es que, sin la progresión habitual de secuencias y series, análisis real y complejo, espacios métricos y luego topología de conjuntos puntuales, no has tenido la oportunidad de desarrollar tu intuición sobre cómo atacar un problema en los entornos más simples. Por ejemplo, las pruebas topológicas tienden a implicar un montón de miradas a las imágenes/inversas de los conjuntos, lo que puede ser un poco confuso, especialmente cuando no has visto pruebas similares en el caso de los espacios métricos.

Sólo para construir unas cuantas imágenes que puedas usar para intentar hacerte una idea de lo que ocurre en una demostración, podría ser una buena idea aprender algunos espacios métricos básicos, al menos lo suficiente para entender la idea de dónde vienen las definiciones de conjunto abierto y función continua que luego se usan en el entorno general de los espacios topológicos. Cuando estaba aprendiendo los espacios métricos y topológicos, encontré El libro de Sutherland para ser bastante útil. No sólo es un libro bastante barato que sirve como una buena introducción a los espacios métricos, sino que es de esperar que también te ayude con algunas ideas topológicas.

Una vez que se tiene una idea muy básica de los espacios métricos y se aprecia lo que sucede en las pruebas de los espacios métricos (es decir, la elección de pequeños $\epsilon$ -bolas), podrás hacer dibujos que te ayuden a ver lo que ocurre, y ver si puedes generalizarlo a los espacios topológicos (sustituyendo las bolas por conjuntos abiertos). En general, hacer dibujos es una buena manera de entender las definiciones y los teoremas de la topología. Aunque no sea nada riguroso, sentarse a pensar en lo que dice una definición e intentar hacer un dibujo es siempre una buena manera de intuir lo que realmente dice.

En cuanto a las pruebas generales, ciertamente se mejora con la práctica. Mucha de la gente que conozco que tiene dificultades con las demostraciones no es tanto por las matemáticas que hay detrás, sino más bien por la idea de lo que implica exactamente una demostración, sobre todo porque las demostraciones de espacios métricos y topología más sencillas a menudo se limitan a combinar y reescribir definiciones. Siempre es buena idea ser claro en la forma de plantear el comienzo de la demostración. Si quieres demostrar que un conjunto de suposiciones lleva a una conclusión, entonces expónlo de la siguiente manera:

Supongamos [supuesto 1], [supuesto 2]. Es decir

-definición de lo que significa realmente [suposición 1], es decir, si hemos supuesto que una función es continua, la imagen inversa de un conjunto abierto en su imagen es abierta.

-definición de lo que significa realmente [supuesto 2].

Entonces queremos demostrar la [conclusión], es decir, la definición de lo que significa realmente la [conclusión].

A menudo, cuando tienes las definiciones delante de ti, hay algo que salta a la vista como un buen punto de partida. Evidentemente, a estas alturas no puedo seguir dando consejos generales, ya que no todas las pruebas son iguales. Lo único importante es tener siempre presente qué es lo que quieres demostrar, es decir, cuál es tu conclusión. Si siempre sabes exactamente a dónde quieres llegar, normalmente habrá un siguiente paso obvio a partir de lo que tienes delante. Y mientras tengas cuidado de escribir exactamente lo que quieres decir en cada paso, siempre tendrás todo lo que sabes delante.

Ah, y ya que estamos, otro libro que recuerdo que era útil cuando estaba en el primer año de carrera es este . El contenido es más bien básico, y ninguna de las pruebas es difícil en absoluto, pero es bueno en el sentido de que explica lo que las pruebas están haciendo muy claramente, y a menudo precede a una prueba real con una breve discusión de cómo elegir la estrategia correcta para esa prueba.