Cuando son estas dos definiciones equivalentes?

Question

No recuerdo cómo mostrar esto, pero me siento como que debe ser cierto: si tengo una función continua $f$, entonces ¿cómo puedo demostrar que

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{f(x+\frac{1}{n})-f(x)}{\frac{1}{n}}= c \quad\text{implies}\quad \lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{f(x+\delta)-f(x)}{\delta}=c$$

EDIT: lo Siento por la confusión, yo de hecho la media de $n\in \mathbb{N}$.

Answer 1

Esto no es cierto. Considere la posibilidad de

$$f(x) = \begin{cases} x\cos\left(\frac {2\pi} x\right) &\text{if }x\neq 0,\\ 0 & \text{if }x=0.\end{cases}$$

A continuación, $f$ es continua en a $\mathbb R$,

$$\frac{f\left(\frac 1n\right) - f(0)}{\frac 1n} = 1$$

para todos los $n\in \mathbb N$, pero $f$ no es diferenciable en a $0$.

Answer 2

Nueva Respuesta

Esto lo escribí bajo la impresión de que $n$ $\delta$ eran reales, antes de que la cuestión se aclaró. Es fundamental la pregunta que $n\in\mathbb{N}$, no $\mathbb{R}$, porque entonces podemos tomar ventaja de las funciones periódicas como seno o coseno para hacer el lado izquierdo límite existe. También es fundamental que ${1\over\delta}\in\mathbb{R}$, no $\mathbb{N}$, debido a que no podemos tomar ventaja de las funciones periódicas a menos que sean discretos (que viola la "función continua el requisito de" la pregunta).

Esencialmente, el de la izquierda de la ecuación ya no es la definición de un derivado, aunque todavía sirven muy bien en la mayoría de los casos, porque estamos tomando el límite discretamente en lugar de continuamente. Pero el derecho de la ecuación es el verdadero derivados, con el límite de tomarse de forma continua. Así que no son idénticos, y por ello, hay maneras de mostrar su implicación es falsa, como se muestra por Juan Ma.

Respuesta Anterior

Básicamente, podemos ignorar la mayor parte de la ecuación. La diferencia entre el lado izquierdo y el lado derecho es que en la izquierda estamos tomando el límite de ${1\over n}\to{1\over\infty}$ mientras que a la derecha nos está tomando el límite cuando $\delta\to 0$.

Así que echemos un vistazo a los límites directamente.

$lim_{n\to\infty}{1\over n}$ puede ser resuelto por mirar una tabla o gráfico, y teniendo en cuenta el valor se pone arbitrariamente cerca de 0 $n\to\infty$. Podría ser una manera más formal para hacerlo, pero es que hemos "probado" en mi clase de cálculo.

$lim_{\delta\to 0}{\delta}$ puede ser resuelto sólo con conectar 0 $\delta$ para obtener 0.

Así que podemos dejar a $\delta={1\over n}$ y tenga en cuenta que como $n\to\infty$, ${1\over n}\to 0$ y $\delta\to 0$.

Así que una vez que hemos convencido a nosotros mismos de que la $\delta\to0$ es el mismo que ${1\over n}$, $n\to\infty$, el original implicación tiene sentido. Comenzar por señalar que $n\to\infty\iff{1\over n}\to 0$:

$lim_{n\to\infty}{f(x+{1\over n})−f(x)\over{1\over n}}=c\iff$ $lim_{{1\over n}\to 0}{f(x+{1\over n})−f(x)\over{1\over n}}=c$

Ahora hacer la sustitución, $\delta={1\over n}$:

$lim_{{1\over n}\to 0}{f(x+{1\over n})−f(x)\over{1\over n}}=c$ $\iff lim_{\delta\to 0}{f(x+\delta)−f(x)\over\delta}=c$

Como Juan Ma la respuesta de puntos, es posible tener una función continua donde el límite anterior no existe para uno o más $x$ valores. En realidad es posible hacer una función continua donde el límite anterior existe en ninguna parte. Por eso decimos que un derivado sólo existe donde la función es continua y "suave" o "bien portados", cerca del punto en cuestión.

Sin embargo, la implicación no dice "el límite existe para todas las $x$". La implicación dice que "si el límite de la izquierda de la ecuación existe para un determinado$x$$f(x)$, entonces el límite de la ecuación correcta para el mismo $x$ $f(x)$ no sólo existe, sino que tiene el mismo valor, $c$".

Podemos ir un paso más allá por lo que es , si y sólo si, como he hecho anteriormente. Si el límite existe, por un lado, deben existir para el otro lado. Si el límite no existe, por un lado, no puede existir para el otro lado. Porque, en definitiva, las dos ecuaciones de decir la misma cosa.