¿Cómo curvatura espacial y temporal de la curvatura de la diferencian?

Question

Mientras buscaba en los indicadores de los diferentes spacetimes, me encontré con el "Ellis agujero de gusano", con las siguientes métricas:

$$c^2d\tau^2=c^2dt^2-d\sigma^2$$

donde

$$d\sigma^2=d\rho^2+(\rho^2+n^2)d\Omega^2$$

Tomo nota de que el temporal término tiene un coeficiente constante. El artículo de la Wikipedia menciona:

No hay gravedad en la fuerza, un observador inercial (prueba de partículas) puede sentarse siempre en el descanso en cualquier punto en el espacio, pero si puesto en marcha por ciertas molestias seguirá una geodésica de un clima ecuatorial sección transversal a una velocidad constante, como también un fotón. Este fenómeno pone de manifiesto que en el espacio-tiempo de la curvatura del espacio no tiene nada que ver con la gravedad (la "curvatura del tiempo', se podría decir).

Así que esta medida no supondría ningún "efectos gravitacionales".

Buscando en la métrica de Schwarzschild:

$$c^2d\tau^2=(1-\frac{r_s}{r})c^2dt^2-(1-\frac{r_s}{r})^{-1}dr^2-r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)$$

Aquí tenemos una que no sea constante coeffcient para el primer componente. Y esta métrica tiene claramente un atractivo efecto sobre las partículas, por ejemplo, se geodesics tienen la tendencia a $r\rightarrow0$.

1. ¿Eso significa que el efecto gravitacional proviene principalmente de una "curvatura del tiempo", y no de la curvatura espacial? Supongo que parte de la respuesta tiene que ver con el movimiento a través del tiempo siendo dominante para todos, pero la más rápida de las partículas?

2. Es la curvatura espacial la principal causa de la distorsión visual, por ejemplo, la flexión de los caminos de luz, en estas métricas?

3. Me estoy poniendo la imagen que temporal curvatura afecta principalmente a los objetos que se mueven rápidamente a través del tiempo (estático y lento objetos), y espaciales de curvatura afecta principalmente a los objetos que se mueven rápidamente a través del espacio (fotones). Es esta una buena imagen o completamente equivocado?

4. Si el espacio-tiempo alrededor de un "Ellis agujero de gusano" es puramente espacial, ¿eso significa que el más rápido me muevo (por el espacio), más me iba a sentir la atracción y también efectos de segundo orden como fuerzas de marea?

5. Hay físicos métricas, por ejemplo, soluciones válidas para la agencia EFE, que sólo han temporal de la curvatura, pero no espaciales de curvatura? Sería un objeto se comporte como una fuente de la gravedad, sin la lente gravitacional?

6. Si estos objetos sería válido, habría que significa que usted podría pasar ilesos o incluso desapercibido a altas velocidades (rápido movimiento a través del espacio), pero sería desgarrado si usted se está moviendo lentamente (movimiento rápido a través del tiempo)?

Answer 1

Usted necesita ser cauteloso sobre el tratamiento de un tiempo de curvatura y espaciales de curvatura por separado debido a que esta división no es observador independiente. En algunos casos, la métrica puede ser escrito en coordenadas donde el $dt^2$ plazo es $c^2$ (o unidad geométrica de unidades), pero esto es sólo una elección de coordenadas.

Si tomamos, por ejemplo, la métrica FLRW, a continuación, nos suele escribir como:

$$ ds^2 = -dt^2 + a(t)\left(dx^2 + dy^2 + dz^2\right) $$

donde $t$, $x$, $y$ y $z$ son los comoving coordenadas. Sin embargo también puede ser escrito usando la conformación de las coordenadas como:

$$ ds^2=a(\eta)^2(-d\eta^2+dx^2+dy^2+dz^2) $$

Es la misma métrica, describiendo el mismo espacio-tiempo de la geometría, pero en un caso el tiempo de coordenadas se ve como si es curva, mientras que en el otro caso se ve como si es plana. Ambas medidas son perfectamente buenas descripciones de la geometría y podemos elegir cualquier versión pasa a ser más conveniente para nuestros propósitos.

Pero volviendo a tu pregunta: la trayectoria de caida libre de partículas, es decir, su geodésica, está dada por la ecuación geodésica:

$$ \frac{\mathrm d^2x^\alpha}{\mathrm d\tau^2} = -\Gamma^\alpha_{\,\,\mu\nu}U^\mu U^\nu \tag{1} $$

En esta ecuación $\mathbf x$ es la posición $(t,x,y,z)$ de la partícula en el espacio-tiempo, $\mathbf U$ es la cuatro de la velocidad y de los símbolos $\Gamma^\alpha_{\,\,\mu\nu}$ son los símbolos de Christoffel que describe la curvatura del espacio-tiempo. Usted puede pensar en esto como una especie de equivalente a la segunda ley de Newton en que se relaciona la derivada segunda de la posición a la curvatura.

Supongamos que consideramos una partícula en reposo (estacionario en nuestras coordenadas que es). Puesto que la partícula es estacionario en el espacio los componentes de las cuatro de la velocidad de $U^x = U^y = U^z = 0$ y sólo el $U^t$ es distinto de cero. En ese caso, de la línea geodésica en la ecuación (1) se simplifica a:

$$ \frac{\mathrm d^2x^\alpha}{\mathrm d\tau^2} = -\Gamma^\alpha_{\,\,tt}U^t U^t \tag{2} $$

El cálculo de los símbolos de Christoffel es un enorme dolor a menos que usted tiene una copia de Mathematica a mano, pero generalmente, usted puede encontrar buscando en Google como en efecto es el caso de la Ellis agujero de gusano (NB que link es un PDF) y el único no-cero de símbolos de Christoffel son (voy a enumerar todos ellos en caso de que el enlace de arriba se rompe):

$$\begin{align} \Gamma^\rho_{\theta\theta} &= -\rho \\ \Gamma^\rho_{\phi\phi} &= -\rho\sin^2\theta \\ \Gamma^\theta_{\theta \rho} = \Gamma^\theta_{\rho\theta} &= \frac{\rho}{n^2+\rho^2} \\ \Gamma^\theta_{\phi\phi} &= -\sin\theta\cos\theta \\ \Gamma^\phi_{\phi \rho} = \Gamma^\phi_{\rho\phi} &= \frac{\rho}{n^2+\rho^2} \\ \Gamma^\phi_{\phi\theta} &= \Gamma^\phi_{\theta\phi} = cot \theta \end{align}$$

Tenga en cuenta que todos los símbolos $\Gamma^\alpha_{tt}$ son cero, por lo que nuestra geodésico de la ecuación (2) se convierte en:

$$ \frac{\mathrm d^2x^\alpha}{\mathrm d\tau^2} = 0 $$

O en otras palabras en el Ellis agujero de gusano una partícula en reposo permanece inmóvil.

Pero incluso este resultado debe ser tratada con cuidado, porque usted tiene que entender sus coordenadas para interpretar. Para mostrar esto considerar la métrica FLRW que me he referido más arriba. No voy a ir a través de los detalles, pero se puede hacer exactamente el mismo cálculo para la métrica FLRW y llegar a la misma conclusión:

$$ \frac{\mathrm d^2x^\alpha}{\mathrm d\tau^2} = 0 $$

Pero recuerda que en la métrica FLRW las coordenadas son comoving coordenadas, no las coordenadas que usted o que yo uso cuando, por ejemplo, la medición de las distancias a galaxias lejanas, y la comoving coordenadas están moviendo con relación cotidiana de coordenadas (que es por qué las galaxias distantes se están moviendo y, de hecho, la aceleración relativa a nosotros). Incluso cuando nos encontramos con que en un determinado sistema de coordenadas de una partícula en reposo permanece estacionario, esto no significa que en realidad iba a observar un objeto inmóvil a permanecer inmóvil.

(Aunque, como sucede en el Ellis agujero de gusano espacio-tiempo, tú y yo seríamos observar que un objeto inmóvil permanece inmóvil.)

Creo que esto responde a sus preguntas de la 1 a la 4. Como para sus preguntas 5 y 6, como sucede pregunté exactamente la misma pregunta en Lo que hace a una coordenada curva? y la respuesta es que, al menos, dos de las principales curvaturas debe ser distinto de cero. Así que usted no puede encontrar una geometría/sistema de coordenadas donde la curvatura es sólo en el momento de coordenadas.

Answer 2

Considere la posibilidad de un local de Lorentz marco, $g_{ij} = \mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$. Un observador (realmente una congruencia de observadores) en reposo con respecto a este marco ha de vectores de velocidad en $u^i = \delta^i_0$. Experimenta ninguna fuerza (desviación geodésica) si obedece a la ecuación geodésica, que en este caso se convierte, simplemente,$\gamma^i{}_{00} \equiv 0$. De la compatibilidad de la conexión con la métrica sabemos que $\gamma^i{}_{00} \equiv 0$ si y sólo si $\gamma^0{}_{i0} \equiv 0$, y de la primera ecuación de Cartan $$ d\omega^i = \omega^j \wedge \gamma^i{}_j = \gamma^i{}_{jk}\omega^j\wedge\omega^k, $$ sabemos que este es ciertamente el caso de la si $d\omega^0 \equiv 0$. Aquí $\gamma^i{}_j$ son las formas de conexión y $\gamma^i{}_{jk}$ son los componentes (Ricci rotación de los coeficientes). Dado un conjunto de coordenadas es natural considerar a un observador a ser estático si el vector de velocidad está dada por $$ u^\mu = \frac{1}{\sqrt{g_{00}}}\delta^\mu{}_0 $$ (aquí dejo $\mu,\nu,\ldots$ significa coordinar los índices). Considerando entonces el caso estático ($g_{0\mu} \equiv 0$ todos los $\mu = 1,2,3$) se encuentra que en la configuración de $e^\mu_0 = u^\mu$ tenemos $d\omega^0 \equiv 0$ siempre $g_{00}$ es constante. Tal es el razonamiento detrás de la afirmación de que la atracción gravitatoria surge de la no-constante $g_{00}$. Como se puede ver es definitivamente una simplificación.

Como se desprende de la anterior exposición, cualquier observador no en reposo con respecto a nuestro local de Lorentz marco puede experimentar una fuerza (a pesar de que la naturaleza de su correspondencia a alta velocidad depende de la forma exacta de la métrica y/o conexión de las formas).

En cuanto a tus preguntas acerca de los efectos sobre la luz, es importante recordar que la luz sigue null geodesics. Por lo tanto siempre estarán afectados por la naturaleza de la rotación de los coeficientes de $\gamma^i{}_{00}$, pero también por al menos algunos de los otros coeficientes. Se requeriría una velocidad mayor que la de la luz (spacelike observador) para escapar de los efectos de $\gamma^i{}_{00}$, pero esto es claramente no físico.

Aunque, como John Rennie los enlaces en su respuesta, no tiene sentido hablar de curvatura en una dirección, a la luz de las consideraciones anteriores, podemos meditar en el caso de que $\gamma^i{}_{00} = \gamma^0{}_{i0}$ son el único cero de la rotación de los coeficientes. Esto corresponde concretamente para el caso más simple de la mayor velocidad con respecto a nuestro marco, la más pequeña de la "curvatura efectos" en el movimiento (aunque, como se ha indicado anteriormente, requieren una velocidad mayor que la de la luz para escapar de ellos por completo). A continuación, $d\omega^i \equiv 0$ todos los $i = 1,2,3$. Por la segunda ecuación de Cartan $$ d\gamma^i{}_j = \gamma^k{}_j\wedge\gamma^i{}_k + \frac{1}{2}R^i{}_{jk\ell}\omega^k\wedge\omega^\ell, $$ nos encontramos $$ d\gamma^0{}_i = -\gamma^0{}_{i0|j} \omega^0 \wedge \omega^j = R^0{}_{i0j} \omega^0 \wedge \omega^j $$ para dar el único (potencialmente) distinto de cero de la curvatura de los componentes, hasta simetrías. Tenga en cuenta que tomamos $i,j \neq 0$, de donde, en particular, de ello se sigue que el tensor de Ricci es cero si y sólo si el tensor de Riemann. Por lo tanto, al menos podemos concluir que este tipo de soluciones no puede ser vacío, y por lo tanto no pueden describir el exterior de cualquier objeto.

EDIT: De hecho, yo era un poco perezoso en la conclusión de la anterior. Hacer las contracciones, y haciendo caso omiso de cualquier constante cosmológica, nos encontramos con que las ecuaciones de campo de Einstein de rendimiento $T_{0i} = 0$ todos los $i$, donde cualquiera (no plana) solución debe violar la energía dominante condición. Por lo tanto, podemos concluir además que dicha solución es no físico, ya que hay timelike observadores que observan la energía fluya más rápido que la velocidad de la luz, es decir, timelike vectores $v^i$ tal que $T_i{}^jv^i$ es spacelike (es decir, todos los observadores en reposo con respecto a nuestro marco).