La informática un ejemplo de Ext

Question

Deje $k$ ser un campo. Quiero calcular $\operatorname{Ext}_{k[x] / \langle x^2 \rangle}(k,k)$.

Sin embargo no tengo idea de cómo hacerlo? No puedo siquiera pensar en cómo construir una resolución proyectiva que me iba a dar una respuesta útil. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Crédito completo va a Mariano para esta respuesta.

Definir $R:= k[x] / \langle x^2 \rangle$. Pensamos en $k$ $R$- álgebra a través de la homomorphism que envía un poli $f \mapsto f(0)$. Es muy claro que el $k$ es generado por un elemento, a saber, el elemento $1 \in R$. Así que hay una surjection $R \twoheadrightarrow k$. Claramente $\ker (R \twoheadrightarrow k)$ es el ideal generado por el polinomio $x$$R$, de nuevo uno de los elementos. Así que, usando el estándar de la construcción ahora tengo una secuencia exacta $R \to R \twoheadrightarrow k$, donde la izquierda mapa es el homomorphism generado por $1 \mapsto x$. De nuevo, después de un cierto pensamiento es claro que $\ker(R \to R)$ es de nuevo el ideal generado por la poli $x$$R$. Podemos seguir repitiendo esta construcción para obtener un proyectiva (gratis) resolución de $$\cdots \to R \to R \to R \to k \to 0$$ que le da el complejo de cadena (cortando $k$) $$ \cdots \to R \to R \to R \to 0$$ lo que produce el complejo de hom-conjuntos $$0 \to \operatorname{Hom}_R(R,k) \to \operatorname{Hom}_R(R,k) \to \operatorname{Hom}_R(R,k) \to \cdots $$ Usted puede parar aquí por darse cuenta de que cada uno de estos mapas son cero, lo que nos dice la homología en cada punto es $\operatorname{Hom}_R(R,k) \cong k$. Tenemos este isomorfismo por el hecho de que $\operatorname{Hom}_R\left(\coprod_{\alpha \in \mathcal{A}}R, M\right) \cong \prod_{\alpha \in \mathcal{A}}M$ en general.

Por lo tanto para todos $i \ge 0$, $$\operatorname{Ext}_R^i (k,k) \cong k.$$

Answer 2

Según lo sugerido por que estoy publicando mi (a partir de ahora tentativo!) respuesta:

Para la construcción de una resolución libre para $k$ $k[x]/\langle x^2 \rangle$ procedemos como en la prueba del teorema que todos los $R$-módulo libre (y por lo tanto proyectivas) resolución:

Se observa que el $k$ es generado por $S = \{1\}$. Por lo tanto, para obtener un surjective mapa de un módulo a $k$ tomamos el módulo más $\{1\}$, $F(S) = F(\{1\}) = k[x]/\langle x^2 \rangle$, y definir un mapa de la siguiente manera: $$ \pi: F(\{1\}) \to k$$ $$ a_0 + a_1 x + \langle x^2 \rangle \mapsto a_0$$

El núcleo de $\pi$$\langle x \rangle$. Lo siguiente que tenemos que producir el módulo $F(\operatorname{Ker}{\pi}) = F(\langle x \rangle)$ y definir un mapa $$ \pi_1: F(\langle x \rangle) \to F(\{1\})$$ $$ e_{ax} \mapsto ax$$ $\operatorname{Ker}{\pi_1} = \{0\}$ $\operatorname{Im}{\pi_1} = \operatorname{Ker}{\pi} = \langle x \rangle$.

Por lo tanto, tenemos una secuencia exacta $$ 0 \to F(\operatorname{Ker}{\pi}) \xrightarrow{d_1 = \pi_1} F(\{1\}) \xrightarrow{d_0 = \pi} k \to 0$$

Nos cortan $k$ y se aplican $\operatorname{Hom}{(-,k)}$ para obtener $$ 0 \xrightarrow{\overline{d_0}=0} \operatorname{Hom}{(F(\{1\}),k)} \xrightarrow{\overline{d_1}} \operatorname{Hom}{(F(\operatorname{Ker}{\pi}),k)} \xrightarrow{\overline{d_2}=0} 0$$

Ahora vemos que para $i \geq 3$, $\operatorname{Ext^i}{(k,k)} = 0$ desde los módulos de la cadena son todos los $0$. Para $i = 2$, la secuencia es exacta y también obtenemos $\operatorname{Ext^2}{(k,k)} = 0$. Para $k=0$ sabemos que $\operatorname{Ext^0}{(k,k)} = \operatorname{Hom_{k[x]/\langle x^2 \rangle}}{(k,k)}$.

Para calcular los $\operatorname{Ext^1}{(k,k)} = \operatorname{Ker}{\overline{d_1}}$ tenemos que calcular $\overline{d_1}$.

Por ello queremos saber cuando se administra $\varphi \in \operatorname{Hom}{(k[x]/\langle x^2 \rangle, k)}$ tenemos $\varphi \circ d_1 = 0$. Esto es cierto cuando se $\varphi$ es cero en la imagen de $d_1$, y puesto que la imagen de $d_1 = \langle x \rangle$, esto es cierto para todos los $\varphi$ que son cero en $\langle x \rangle$.

No estoy del todo seguro de cómo escribir esto, pero tal vez nos puede escribir a este conjunto como $\operatorname{Hom}{(R/\langle x \rangle, R/\langle x \rangle)} \subset \operatorname{Hom}{(R, R/\langle x \rangle)}$ donde $R = k[x]/ \langle x^2 \rangle$?