pregunta sobre la traducción de operador a prueba de

Question

Alguien ha estudiado el libro 'no Lineal de ecuaciones diferenciales Parciales con las aplicaciones por Tomas Roubicek? Estoy interesado en la discusión de un punto de interés en este libro.

Específicamente, en la página 52, en la prueba del Teorema 2.36 (Leray-Leones) declara que $A_{0}$ hereda coercitividad de $A$. ¿Cómo demostrarlo?

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

El programa de instalación

Para la integridad quiero estado de las partes del libro que son necesarias: Se nos da una (en general no lineal) operador de $$A: W^{1,p}(\Omega) \rightarrow W^{1,p}(\Omega)^*,$$ que es coercitivo (ver Lema 2.35 en la literatura). En que, coercitividad significa la existencia de una asignación $\xi: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ tal que $\xi$ es ilimitado (i.$\,$e. $\lim_{r\to+\infty} \xi(r) = +\infty$) y $$ \forall u \W^{1,p}(\Omega): a(u) \geq \xi(\Vert u\Vert) \Vert u \Vert. $$ Además, hemos cambiado el operador $$ A_0: \phantom{u} W^{1,p}(\Omega) \rightarrow W^{1,p}(\Omega)^* \\ \phantom{A_0: W^{1,p}(\Omega)} u \mapsto(u+w) $$ donde $w \in W^{1,p}(\Omega)$ es una constante, que se da en el libro. (En realidad, $A_0$ está definido en un lineal subespacio $V\subseteq W^{1,p}(\Omega)$ pero desde $A$ está definida en todo el espacio que podemos extender $A_0$ a todo el espacio).

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Prueba de coercitividad

Vamos a mostrar coercitividad de $A_0$$W^{1,p}(\Omega)$, que luego se implica directamente coercitividad de $A_0$ sobre el subespacio $V \subseteq W^{1,p}(\Omega)$ por la simple restricción del operador.

Primero de todo, hemos estado allí existe $R \in \mathbb{R}^*$ $c \in \mathbb{R}^+$ tal que para todos los $u\in W^{1,p}(\Omega)$ $\Vert u\Vert \geq R$ tiene $$ \Vert u \Vert \leq c\Vert u+w\Vert. \ \ \ (1) $$ (Este es bastante plausible sin una prueba? Es bastante general y no una parte directa de la principal prueba.)

Ahora defina $\eta: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ por

$$ \begin{align} &\eta(r) := \begin{cases} & c\inf\limits_{v \in W^{1,p}(\Omega), \|v\| = r}\xi(\| v+w\|) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{ for } r \geq R,\\ &0 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{for } r < R \end{casos} \end{align} $$

(Gracias a John Doe para mejorar el formato!) Tenga en cuenta que $\eta$ está bien definido, porque para todos los $r\in \mathbb{R}^+$ tenemos $\inf_{v \in W^{1,p}(\Omega), \Vert v\Vert = r} \xi(\Vert v + w\Vert) \geq 0$ a partir de la definición de $\xi$. Además, hemos $\eta(r) \to +\infty$$r \to \infty$. Otra cosa existiera una secuencia $(u_k)_{k\in \mathbb{N}}$ $\Vert u_k\Vert = k$ todos los $k\in \mathbb{N}$$C \geq \limsup_{k\to\infty} \eta(\Vert u_k\Vert) = \limsup_{k\to\infty} \xi(\Vert u_k+ w\Vert)$. En particular, tendríamos $\Vert u_k + w\Vert \to \infty$ $k\to\infty$ pero $\xi(\Vert u_k+ w\Vert) \leq C$ $k\to \infty$ en contradicción a$\xi(r) \to \infty$$r\to\infty$. En consecuencia, esta contradicción rendimientos $\eta(r) \to \infty$$r\to\infty$.

Sólo por la definición de $A_0$, entonces la definición de coercitividad aplica el operador $A$, el uso de (1) y, finalmente, utilizando la definición de $\eta$ tenemos para todos los $u \in W^{1,p}(\Omega)$ $\Vert u \Vert \geq R$ $$ A_0(u) = (u+w) \geq \xi(\Vert u+w\Vert) \Vert u+w\Vert \geq \frac{1}{c}\xi(\Vert u+w\Vert)\Vert u\Vert \geq \eta(\Vert u\Vert) \Vert u\Vert. $$ y para todos los $u \in W^{1,p}(\Omega)$ $\Vert u \Vert < R$ tenemos (de nuevo, por definición, de $A_0$, coercitividad sí mismo y $\eta$) $$ A_0(u) = (u+w) \geq \xi(\Vert u+w\Vert) \Vert u+w\Vert \geq 0 = \eta(\Vert u\Vert) \Vert u\Vert. $$ Por lo tanto $A_0$ es coercitivo como $\eta$ es elegible coercitividad la función como se muestra arriba.

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Observaciones sobre la prueba

Debido a los comentarios que tengo un par de comentarios para agregar.

1. El bien definedness parte de arriba para $\eta$ es que no se trata de mostrar que el $\inf_{v \in W^{1,p}(\Omega), \Vert v\Vert = r} \xi(\Vert v + w\Vert)$ existe (para todos los $r \geq R$). La existencia de la infimum está dada por el acotamiento de los de abajo. Pero nosotros, además, ned $\inf_{v \in W^{1,p}(\Omega), \Vert v\Vert = r} \xi(\Vert v + w\Vert) \geq 0$, de modo que $\eta\: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ está bien definido (porque si el infimum fue menor que cero, no podríamos tener una asignación en $\mathbb{R}^+$ más). Esta propiedad se da debido a que $\xi$ está delimitada desde abajo por cero (como su rango de distribución se define en $\mathbb{R}^+$; este límite también nos da la mencionada existencia de la infimum).

2. A la parte con "$\limsup_{k\to\infty} \eta(\Vert u_k\Vert) = \limsup_{k\to\infty} \xi(\Vert u_k+ w\Vert)$" (tenga en cuenta que el indizes $n$ fueron corregidas a $k$). Voy a repetir esta parte de una manera más explicativa. Por eso, antes de hacer suposiciones, acabamos por las propiedades de la infimum (y la definición de $\eta$) que para todos los $k\in \mathbb{N}$ $k\geq R$ existe un $u_k \in W^{1,p}(\Omega)$ tal que $\Vert u_k\Vert = k$ y $$ \xi(\Vert u_k + w\Vert ) - 1 \leq \inf_{u\W^{1,p}(\Omega), \Vert u\Vert = k} \xi(\Vert u+w\Vert) = \eta(k)= \eta(\Vert u_k\Vert). $$ (Porque siempre podemos elegir una secuencia que converge a la infimum y así escoger un elemento que hace que la distancia a la que infimum arbitrariamente pequeño. En particular, nos encontramos con un elemento que se da cuenta en la mayoría de la distancia de la 1 a la infimum.) Por lo tanto, si $\eta$ fue delimitada por una constante $c_1$ tendríamos para todos los $k\in\mathbb{N}$ $k \geq R$ $$ \xi(\Vert u_k + w\Vert ) \leq \eta(\Vert u_k\Vert) + 1 \leq c_1+1 =: C. $$ Como $\Vert u_k + w\Vert$ va al infinito para $k\to \infty$ obtenemos una contradicción, porque de la definición de $\xi$. Ahora usted podría tomar la $\limsup$ sobre todas las expresiones en que la desigualdad y la desigualdad sería todavía se mantienen. Sin embargo, se puede ver que en realidad este no es necesario en absoluto, como ya nos tiene nuestro contradicción. Yo tal vez estaba pensando un poco demasiado complicado (y también no fue escrito muy claramente, lo siento).

3. Para "$\frac{1}{c}\xi(\Vert u+w\Vert)\Vert u\Vert \geq \eta(\Vert u\Vert) \Vert u\Vert$" nota de que, en la definición de $\eta$, multiplicamos toda la expresión por $c$ a partir de (1). Es por eso que se cancela. (También escribí $C$ en lugar de $c$ en el comienzo de la prueba; esto ha sido corregido ahora.)