¿Cuál es el juego más grande para que su conjunto de auto bijections es contable?

Question

Recientemente me encontré con un problema que requiere un poco de conocimiento acerca de la auto bijections de $\mathbb{N}$, y después de buscar cómo construir algunos de los diferentes bijections me encontré con el resultado de que el conjunto de la auto bijections de $\mathbb{N}$ es incontable.

Y esto me pregunto, ¿cuál es el juego más grande para que su conjunto de auto bijections es contable? Obviamente, esto es cierto para cualquier conjunto finito, pero ¿cuál es el último ejemplo de un conjunto cuyo conjunto de auto bijections es contable?

Answer 1

Deje que $B(X)$ el conjunto de bijections de $X$ a sí mismo.

Para ampliar la que ya se da respuesta, es obvio que el número de bijections a partir de un conjunto finito a sí misma es finita debido a que el número de funciones de un conjunto finito a sí mismo es finito. Por lo tanto, estamos interesados en los conjuntos infinitos. También debería ser obvio que si $|X|\geq|S|$ $|B(X)|\geq|B(S)|$

Ya que existe un bijection entre dos conjuntos si y sólo si tienen la misma cardinalidad y la composición de dos bijections es un bijection, el conjunto exacto que usted está viendo en este contexto, no importa, sólo su cardinalidad. Para ver esto, vamos $|X|=|Y|$ y dejar $f:X\to de$ Y ser un bijection. Entonces $B(Y)=\{fgf^{-1}(x):g\B(X)\}$ y así hay exactamente el mismo número.

Ahora que hemos establecido:

1) Ningún conjunto finito tiene infinitamente muchos bijections que el juego en sí.

2) $|B(S)|$ depende sólo de $|S|$.

3) $|X|>|Y|\Rightarrow |B(X)|\geq|B(S)|$

De lo anterior se desprende que no existe ningún conjunto $X$ de los cuales us $|B(X)|$ es infinito y $B(X)<B(\mathbb{N})$ ya $|\mathbb{N}|$ es el más pequeño infinito cardenal, lo que significa que, por su observación, no hay ningún conjunto ha countably una cantidad infinita de bijections con sí mismo! Pero, a continuación, el conjunto más grande con countably muchos bijections a sí mismo es finito, y cada conjunto finito presenta este, así que no hay mayor conjunto.

Answer 2

No hay tal máxima, dado que $\aleph_0=|\mathbb{N}|$ es el más pequeño infinito cardenal.

Answer 3

Vamos a escribir $X!$ para el conjunto de bijections $X\a X$. Es cierto que $$ |X| < |Y| \implica | X! | \le | S! |. $$ Sin embargo, no es cierto que la estricta igualdad de siempre. Esto es independiente de la teoría de conjuntos (ZFC). Ver abajo para más detalles.

En primer lugar, a pesar de que, para abordar la cuestión: no Hay "más grande [tamaño] para que el conjunto de sus auto bijections es contable".

Para finito de $X,$ Y, claramente, el conjunto de bijections $X\a Y$ son un subconjunto de $Y^X$, el conjunto de todas las funciones $X\a Y$; así que el conjunto de bijections es finito.

El siguiente tamaño mayor es de $\aleph_0$, la cardinalidad de $X = \Bbb$ N. El bijections $X!$ a partir de este conjunto a sí misma el cardenal de $2^{\aleph_0}$, como se muestra a continuación, así que ya el número de bijections es incontable. Si $Y$ es cualquier conjunto más grande, entonces $|X!| = 2^{|X|} \le 2^{|Y|} = |Y!|$, por lo que la cardinalidad de la bijections de $Y$ es incontable.

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No es cierto que $|X| < |Y|$ implica que hay más bijections $Y\a Y$ que $X\a X$, para el infinito $X,Y$. Esto es independiente de ZFC, por lo que no parece que vaya a ser "obvio";/ Tenemos:

$$2^{|X|} \le (\text{# de bijections } X\X) \le |X|^{|X|} = 2^{|X|},\etiqueta{*} $$ Para ver la primera desigualdad, considere la posibilidad de la inyección $$f\mapsto \big(x\mapsto (f(x), x)\big) \colon 2^X \(\text{bijections } X \2\times X).$$

Del mismo modo, (*) se tiene para $Y$.

Sin embargo, en algunos modelos de ZFC, hay infinidad de $X,$ Y $|X| < |Y|$ pero $2^{|X|} = 2^{|Y|}$. En otros modelos, no hay ningún tipo de $X,$ Y y la propiedad es true. Suponiendo que ZFC es consistente, ni es demostrable.