Estas integrales se supone que tienen una elemental forma cerrada, pero Mathematica sólo devuelve algo en términos de las integrales elípticas. Tengo el libro Tratado sobre el Cálculo Integral por Edwards. ¿Cómo se puede evaluar?
$$ I = \int{\frac{\sqrt{1+x^4}}{1-x^4}dx}\\ J = \int{\frac{x^2}{(1-x^4)\sqrt{1+x^4}}} dx $$
El problema está en la p. 319 en la edición de 1921 de Volumen I. Escribir $$ I = \int \frac{1+x^4}{(1-x^4)} \frac{dx}{\sqrt{1+x^4}} ,\qquad J = \int \frac{x^2}{(1-x^4)} \frac{dx}{\sqrt{1+x^4}} , $$ y tenga en cuenta que$I=\frac{1}{2}(A+B)$$J=\frac{1}{4}(A-B)$, donde $$ A = \int\frac{1+x^2}{1-x^2} \frac{dx}{\sqrt{1+x^4}} ,\qquad B = \int\frac{1-x^2}{1+x^2} \frac{dx}{\sqrt{1+x^4}} . $$ Estas integrales $A$ $B$ aparecen en un ejercicio en la p. 103, y pueden ser resueltos mediante el establecimiento $z=\frac{\sqrt{1+x^4}}{x}$ ( $x > 1$ , dicen, de modo que el cambio de variables es invertible, el resultado final no depende de este supuesto, como se puede comprobar por su diferenciación). Esto le da $$ \frac{dz}{dx} = \frac{(x^2+1)(x^2-1)}{x^2 \sqrt{1+x^4}} ,\quad z^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} ,\quad z^2 \pm 4 = \left( x \pm \frac{1}{x} \right)^2 = \left( \frac{x^2 \pm 1}{x} \right)^2 , $$ así que $$ A = -\int \frac{dz}{z^2-2} ,\qquad B = \int \frac{dz}{z^2+2} , $$ y creo que se puede tomar desde allí!
(Otra opción sería hacer como Edwards sugiere en la página. 311, y evaluar $A$ $B$ dejando $z=1/(x-\frac{1}{x})$$z=1/(x+\frac{1}{x})$, respectivamente).
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