Un ejemplo de un sistema dinámico.

Question

hay un ejemplo de un sistema dinámico $(X,T)$ donde $X$ es un espacio compacto y $T:X \to X$ es una continua mapa, s.t $\Pi(T) = \emptyset$ donde $$\Pi(T) = \bigcup_{n=1}^{\infty} \Pi_n(T), \Pi_n(T) = \left\{ x \in X : T^n x =x \right\}$$

y su entropía topológica, $h(T)>0$. http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_entropy

Mi razonamiento es que si $\Pi(T) = \emptyset$$\forall m\in \mathbb{N} : T^m x \neq x$. Y a partir de la definición de la entropía topológica que quiero para calcular la métrica $d_n(x,T^m x) = \max_{0\leq k \leq n-1} d(T^k x , T^{k+m} x)$; por lo tanto creo que si $T$ no es inyectiva entonces puedo encontrar un ejemplo donde$h(T)>0$$\Pi(T)=\emptyset$.

Pero no estoy seguro de cómo definir $X$ y la métrica que va junto a ella. cualquier sugerencias de referencias, son bienvenidos.

Answer 1

Hay un ejemplo clásico de un mínimo de homeomorphism $T$ (es decir, un continuo automorphism) con un resultado positivo de la entropía proporcionada por María Rees Una mínima entropía positiva homeomorphism de la 2 de toro. J. Londres Matemáticas. Soc.23(1981), 537-550.

[Un sistema dinámico $(X,T)$ se llama mínimo si $X$ no contiene ningún no-vacío, propio, cerrado $T-$subconjunto invariante. En este caso también podemos decir que el mapa de $T$ es mínimo. Ver http://www.scholarpedia.org/article/Minimal_dynamical_systems para una buena discusión de un mínimo de sistemas dinámicos}. En particular, si $T$ es mínima y $X$ no discretos, a continuación,$\Pi(T)=\emptyset$, pero la propiedad de ser minmal es generalmente más fuerte que la de tener vacíos periódico set (ebit)]

Este teorema ha sido recientemente ha generalizado, véase por ejemplo el papel por Beguin, S. Crovisier y F. Le Roux http://arxiv.org/pdf/math/0605438.pdf, que describe una configuración general para lo que ellos llaman el Denjoy-Rees técnica. Esta configuración general incluye como casos particulares la construcción de varios "Denjoy contra-ejemplos" en cualquier dimensión, y Rees construcción de una mínima homeomorphism de $\mathbb T^d$ con un resultado positivo de la entropía topológica.

Como el mismo artículo señala, los resultados están en contraste a sufficinetly regular hiperbólico diffeomorphisms, que siempre tienen un montón de órbitas periódicas: un teorema de A. Katok (Lyapounov exponentes, la entropía y órbitas periódicas para diffeomorphisms. Pub Matemáticas IES 51 (1980), 131-173) los estados que, si $T$ $C^{1+\alpha}$ diffeomorphism de una superficie compacta $X$ con un resultado positivo de la entropía topológica, entonces existe un $T$invariante en el conjunto compacto $\Lambda \subset X$ tal de que algún poder de $T|\Lambda$ es conjugado a un turno completo. En particular, una $C^{1+\alpha}$ diffeomorphism de una superficie compacta, con un resultado positivo de la entropía topológica no puede ser mínima y se ha $\Pi(T)\ne\emptyset$.

Yo no soy consciente de que toda publicación de resultados para encontrar la mejor posible de la regularidad (es $C^1$ ?) de un mínimo de automorfismos $T$ $\mathbb T^2$ con un resultado positivo de la entropía - cualquier comentario es bienvenido!