Yo en realidad no conozco a ninguno de los estándar de pruebas de Dirichlet de la unidad teorema que Qiaochu Yuan se refiere, pero creo que se podría utilizar de Minkowski del teorema sobre la existencia de un valor distinto de cero entramado de puntos lo suficientemente grande de forma centralizada simétrica subconjuntos convexos de $\mathbf R^n$. Me voy a dar una prueba específica de la pregunta que se hace aquí, que los usos del teorema de Minkowski, pero sólo en el caso muy simple de un paralelogramo. Voy a escribir la prueba de arriba hacia abajo, de modo que uno ve cómo el teorema se utiliza antes de que yo voy estado (y probar).
Primer recuerdo algunas generalidades sobre el ring $R=\mathbf Z[\sqrt d]$ $d$ positivo squarefree número, para empezar. El grupo aditivo de $R$ es gratis Abelian de rango $2$ con generadores $1,\sqrt d$. La norma mapa de $N:R\to\mathbf Z$ $a+b\sqrt d\mapsto a^2-db^2$ es multiplicativo, y las unidades de $R$ son precisamente los elementos con la norma $\pm1$. Uno tiene la no-trivial de una unidad de $-1$, pero es de orden finito; el punto de demostrar que es, por tanto, que el subgrupo de unidades positivos no es trivial (una vez que una unidad positiva${}\neq1$ se encuentra, sus poderes forman un conjunto infinito de unidades). Voy razón por la contradicción, por lo que asumir que $1$ es la única unidad positiva de $R$. El primer paso será mostrar que esto implicaría que para cualquier $n\in\mathbf N$, el número de positivos $r\in R$ $|N(r)|=n$ es finito, de hecho en la mayoría de las $n^2$.
Lema. Para cualquier $n\in\mathbf N_{>0}$, el número de los principales ideales de la $R$ que contengan $n$ es en la mayoría de las $n^2$.
Prueba. Desde estos ideales contienen $nR$, todos ellos mapa del principal, de los ideales de la $R/nR$, y la asignación es inyectiva. El número de los principales ideales de la $R/nR$ no puede exceder el número de $n^2$ de sus elementos. QED
El obligado que se dan aquí está lejos de ser fuerte, pero la finitud es todo lo que necesitamos. Bajo la hipótesis de que $1$ es la única unidad positiva de $R$, dos elementos positivos de $R$ generar distintas principal ideales, y si $|N(r)|=n$, el ideal generado por a $r$ contiene $n$, por lo que el lema que justifica nuestra afirmación de que el número de tales$~r$ es finito.
Esto significa que por cada $M>0$ hay algo de $\varepsilon_M>0$ tal que para todos los $a,b\in\mathbf Z$ $0\neq|a+b\sqrt d|<\varepsilon_M$ ha $|N(a+b\sqrt d)|\geq M$. Demostraremos que para suficientemente grande $M$ esto contradice Minkowski del teorema. Tenga en cuenta que $N(a+b\sqrt d)=(a+b\sqrt d)(a-b\sqrt d)$, por lo que podemos enlazado $N(a+b\sqrt d)$ por encima de si además el valor de $a+b\sqrt d$ también nos unía a su conjugado $a-b\sqrt d$. Ahora el lineal endomorfismo de $\mathbf R^2$ envío de $\binom ab\mapsto\binom{a+b\sqrt d}{a-b\sqrt d}$ ha determinante $-2\sqrt d$, por lo tanto, el $|a+b\sqrt d|<x$ $|a-b\sqrt d|<y$ definir el interior de un paralelogramo de área $4\frac{xy}{2\sqrt d}$, para cualquier $x,y>0$. Minkowski del teorema dice un paralelogramo contendrá un valor distinto de cero celosía punto, siempre que su área es mayor que $2^2=4$.
Así que aquí está cómo obtener una contradicción: tome $M>2\sqrt d$ y poner
$$
x_0=\min\{ z\R \mediados de z>0 \de la tierra |N(z)|\leq M\}\qquad\text{y}\qquad y_0=\frac M{x_0}.
$$
A continuación,$\frac{x_0y_0}{2\sqrt d}>1$, por lo que Minkowski del teorema garantiza la existencia de $a,b\in\mathbf Z$, no tanto en$0$,$|a+b\sqrt d|<x_0$$|a-b\sqrt d|<y_0$. Pero luego, en un mano a $|N(a+b\sqrt d)|>M$ por la elección de $x_0$ (y el hecho de $N(-z)=N(z)$), pero por otro lado,$|N(a+b\sqrt d)|=|a+b\sqrt d||a-b\sqrt d|<x_0y_0=M$, una contradicción.
El teorema de Minkowski. De cualquier forma centralizada simétrica subconjunto convexo $S$ $\mathbf R^d$ de volumen mayor que $2^d$ contiene un elemento distinto de cero de a $\mathbf Z^d$.
Prueba. El mapa de $f:\mathbf R^d\to(2\mathbf Z)^d$ es localmente área de preservación, por lo que su restricción a $S$ no puede ser inyectiva ya que el área total a la hora de llegada es $2^d$. Si $s,s'\in S$ ha $s\neq s'$$f(s)=f(s')$, luego por el centro de simetría $-s'\in S$, y por la convexidad $\frac{s-s'}2\in S$; por lo tanto, desde el $f(s-s')\in(2\mathbf Z)^d$, uno ha $\frac{s-s'}2\in S\cap(\mathbf Z^d\setminus\{0\})$. QED
