Me gustaría orientación sobre la evaluación de la $$\displaystyle\int \tan^{5}(x)\text{ d}x\text{.}$$ He intentado usar el de Pitágoras identidades para obtener $$\int\tan^{5}(x)\text{ d}x = \int \tan(x)\left[\sec^{2}(x)-1\right]^{2}\text{ d}x\text{.}$$ Esto no parece útil. Así que pensé, ¿por qué no convertir sólo UNA de las $\tan^{2}$ lo que se refiere a la $\sec^{2}-1$ formulario? Esto le da $$\int\tan^{5}(x)\text{ d}x = \int\tan^{3}(x)\sec^{2}(x)\text{ d}x-\int \tan^{3}(x)\text{ d}x\text{.}$$ Claramente el segundo término es $\dfrac{\tan^{4}(x)}{4}$ (ignorando el término constante, por ahora). El uso de una táctica similar, $$\begin{align} \int\tan^{3}(x)\text{ d}x &= \int \tan(x)\sec^{2}(x)\text{ d}x-\int\tan(x)\text{ d}x \\ &= \dfrac{\tan^{2}(x)}{2} - (-1)\ln|\cos(x)| \\ &= \dfrac{\tan^{2}(x)}{2}+\ln|\cos(x)|\text{.} \end{align}$$ Así que esto me sugiere que $$\int\tan^{5}(x)\text{ d}x = \dfrac{\tan^{4}(x)}{4} - \dfrac{\tan^{2}(x)}{2}-\ln|\cos(x)| + C\text{.}$$ Pero la respuesta en Stewart (la sección 7.2., #31) $$\dfrac{1}{4}\sec^{4}(x)-\tan^{2}(x)+\ln|\sec(x)|+C\text{.}$$ Es muy claro que la $\ln|\sec(x)|$ plazo viene y traté de tomar la diferencia de mi respuesta y Stewart respuesta usando Wolfram Alpha y por desgracia, la diferencia no es una constante.
¿De dónde me salen mal?
