La motivación
Estoy trabajando en una de las preguntas de Hardy en el Curso de la Matemática Pura, y se preguntaba si podía conseguir alguna ayuda sobre dónde ir a continuación en mi prueba. He intentado reorganizar la expresión de muchas maneras desde el paso I am at, pero se parece a obtener de la nada.
Pregunta
Si $a^2-b>0$, entonces las condiciones necesarias y suficientes que $\sqrt{a+\sqrt{b}} + \sqrt{a-\sqrt{b}}$ es racional se $a^2-b$ $\dfrac{1}{2} (a+ \sqrt{a^2-b})$ ser los cuadrados de los números racionales.
Intento
Supongamos que $\sqrt{a+\sqrt{b}} + \sqrt{a-\sqrt{b}}$ es racional. Entonces se puede escribir como el cociente de dos números enteros p y q, que no tienen ningún factor común. Escribo esto como:
$\dfrac{p}{q}=\sqrt{a+\sqrt{b}} + \sqrt{a-\sqrt{b}}$
Luego elevando al cuadrado ambos lados tenemos:
$\dfrac{p^2}{q^2} = (\sqrt{a+\sqrt{b}} + \sqrt{a-\sqrt{b}})^2=2a+ 2\sqrt{a^2-b}$
-Nota seguro de dónde ir desde aquí.
