Scott truco sin el Axioma de Regularidad

Question

Scott truco es un método para la construcción de un conjunto, como un subconjunto de una clase adecuada. Específicamente, deje $A$ ser una clase (correcta o no), y vamos a $$S(A)=\{x\in A:\forall y\in A,\operatorname{rank}(x)\le\operatorname{rank}(y)\}.$$

A continuación, $S:\overline V\to V$ (donde $\overline V$ representa la colección de todas las clases, un concepto que no puede ser formalizado en ZF) satisface las tres propiedades importantes: (1) $S(A)\subseteq A$, (2) $S(A)$ es un conjunto, incluso si $A$ no es, y (3) $S(A)=\emptyset$ fib $A=\emptyset$.

Me gustaría generalizar esta construcción para producir otra función en $\overline V$ que satisface las mismas propiedades, pero no requiere el Axioma de Regularidad. El lugar donde la Regularidad aparece en el estándar de Scott truco está en la prueba de la propiedad (2), ya que se asume la negación de la Regularidad, hay un conjunto $z$ sin clasificar, y una clase adecuada de los conjuntos construidos a partir de este conjunto (es decir $z, \{z\}, \{\{z\}\}, \dots$ y continuado por la recursión transfinita), que también no tiene ningún valor. En virtud de la definición convencional de rango, $\operatorname{rank}(x)=\emptyset$ siempre $x$ no tiene rango, así que si me tome $A$ a ser la clase de conjuntos que contengan $z$ descrito anteriormente, todos los miembros de $A$ tienen el mismo rango, y por lo tanto $S(A)=A$ es también una clase adecuada.

Mi pregunta es si hay alguna manera en la construcción de un tipo similar de la función que funciona incluso en tales casos. Es necesario tener un orden total sobre todos los conjuntos como $\operatorname{rank}$ en orden para cualquier engaño a trabajar? Si es así, me imagino que no hay ninguna manera de hacerlo sin la Regularidad.

Answer 1

Algunas hipótesis es necesaria: es compatible con $\mathsf{ZFA}$ que no es una clase de átomos, y no hay ninguna clase de función $C:V\to V$ con la propiedad de que $C(X)=C(Y)$ fib $|X|=|Y|$. Esto es debido de manera independiente a Gauntt y Lévy. Jech del axioma de elección da referencias.

Por otro lado, una respuesta positiva es posible en algunas situaciones: Suponga $\mathsf{ZF}^-+\mathsf{AFA}$, $\mathsf{ZF}$ con la fundación reemplazado por el antifoundation axioma de forma independiente debido a Aczel y Forti-Honsell. Se puede demostrar que cualquier modelo de esta teoría está totalmente determinado por su bien fundado de parte $\mathsf{WF}$, en el sentido de que si $(M,\in^M)$ $(N,\in^N)$ son modelos de $\mathsf{ZF}^-+\mathsf{AFA}$$\mathsf{WF}^M\cong\mathsf{WF}^N$,$M\cong N$.

Permítanme revisar lo $\mathsf{AFA}$ dice precisamente. Recordemos que un grafo es un par ${\mathcal G}=(G,E)$ donde $G$ es un conjunto y $E$ es una relación binaria en a $G$.

Una decoración de ${\mathcal G}$ es una asignación $\pi$ de un conjunto a cada elemento de a $G$ de tal manera que por cada $x\in G$, $\pi(x)=\{\pi(y)\colon y \mathrel E x\}$.

Un apg (accesible señaló el gráfico) es un gráfico de $(G,E)$ con un distinguido punto de $p\in G$ de manera tal que cada elemento de a $G$ es accesible de forma $p$, (es decir, no es una secuencia finita $p,p_1,\dots,p_n,q$ tal que $q\mathrel E p_n\mathrel E\dots\mathrel E p_1 \mathrel E p$).

Una imagen de un conjunto $x$ es un apg ${\mathcal G}$ con distinguidos nodo $p$ admitiendo una decoración $\pi$ tal que $\pi(p)=x$.

De trabajo en $\mathsf{ZF}^-$, se puede probar que todo conjunto tiene una imagen. Mostowski del colapso teorema establece que cada fundada gráfica tiene una decoración única. Esto implica que cada bien fundado de la apg es una imagen de un conjunto único.

$\mathsf{AFA}$ es la afirmación de que cada gráfica tiene una decoración única.

Se desprende de lo $\mathsf{AFA}$ que cada apg es una imagen de un conjunto único, y que no bien fundada conjuntos existen. Por otra parte, cada apg es equivalente a un apg en una bien fundada set, donde dos apgs son equivalentes si son imágenes de la misma serie.

Para referencias sobre antifoundation, y las pruebas de su consistencia y los reclamos, ver

Peter Aczel. No bien fundada conjuntos. CSLI Notas de la Conferencia De 14, de la Universidad de Stanford, Centro para el Estudio de la Lengua y de la Información, Stanford, CA, 1988. MR0940014 (89j:03039),

y

Marco Forti, y Furio Honsell. Axiomas de la elección y libre de construcciones de principios, yo. Bull. Soc. De matemáticas. Belg. Vol 36 (b) fasc. 1 ser. b (1984), 69-79. MR0739920 (85f:03054).

Ya que cada apg es equivalente a la de un bien fundado de la apg, se puede hacer en $\mathsf{ZF}^-+\mathsf{AFA}$ e indirectamente implementar Scott truco: Dado cualquier clase de $C$ considera la clase $C_{\mathsf{WF}}$ de fundada apgs que son fotos de conjuntos en $C$. Si $C$ es no-vacío, seleccione un subconjunto de a $C_{\mathsf{WF}}$ el uso de Scott truco. La colección de los correspondientes conjuntos es un subconjunto de la clase $C$.