Encuentre la forma cerrada para $1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 10, \ldots$

Question

¿Existe alguna forma cerrada para lo siguiente?

$$1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 10, \ldots$$

Intenté encontrar uno, pero fracasé.

He visto la solución en Wolfram Alpha pero no lo entendí:

Función generadora: $$\mathcal G_n(a_n)(z)=\dfrac{z+1}{(z-1)^2(z^2+z+1)}$$

¿Qué significa esa función y cómo me da la solución a mi pregunta?

Answer 1

$$n-\left\lfloor\frac{n}3\right\rfloor$$

Answer 2

Aunque Did te dio una forma cerrada muy bonita, te explicaré un poco lo que te dio Wolfram|alpha. A función generadora $f$ para una secuencia $\{a_k\}_{k = 0}^{\infty}$ es la serie de potencias formal definida por $$ f(z) = \sum_{k = 0}^{\infty}a_k z^k. $$ Por lo tanto, una función generadora para $\{a_k\}$ no le dan la $n$ -término de la secuencia cuando se introduce $n$ - eso es lo que hace la forma cerrada. En cambio, la función generadora codifica información sobre su secuencia utilizando los términos como coeficientes. Las funciones generadoras se pueden utilizar para resolver problemas de recuento y para obtener formas cerradas para las secuencias; no conozco ninguna referencia realmente buena sobre las funciones generadoras, pero estoy seguro de que alguien puede guiarte en la dirección correcta si eso es lo que te interesa.

A menudo es deseable tener una forma cerrada para la función $f$ en lugar de sólo la serie, y parece que tu secuencia tiene una función generadora con una forma cerrada relativamente agradable, así que eso es lo que te dio Wolfram|alpha. Si escribes la serie explícitamente y realizas algunas manipulaciones cuidadosas, encontrarás que $$ 1 + 2z + 2z^2 + 3z^3 + 4z^4 + 4z^5 + 5z^6 + \dots = \frac{z + 1}{(z - 1)^2(z^2 + z + 1)}. $$ (Para alguna región alrededor del origen y siempre que Wolfram no lo haya estropeado. )

Editar: Esta es la forma en que yo derivaría la función generadora de su secuencia. El siguiente cálculo es formal, y sin tener en cuenta la convergencia - como suele ser con las funciones generadoras. \begin {align*} G(z) &= 1 + 2z + 2z^2 + 3z^3 + 4z^4 + 4z^5 + 5z^6 + \dots\\ &= 1 + z + z^2 + \ldots + z(1 + z + 2z^2 + 3z^3 + 3z^4 + 4z^5 + \dots ) \\ &= \frac {1}{1 - z} + z(1 + z + z^2 + z^3 + \dots ) + z(z^2 + 2z^3 + 2z^4 + 3z^5 + \dots ) \\ &= \frac {1}{1 - z} + \frac {z}{1 - z} + z^3(1 + 2z + 2z^2 + 3z^3 + \dots ) \\ &= \frac {1}{1 - z} + \frac {z}{1 - z} + z^3 G(z) \end {align*} Así que, \begin {align*} G(z)(1 - z^3) &= \frac {1}{1 - z} + \frac {z}{1 - z} \\ G(z)(1 - z^3) &= \frac {z + 1}{1 - z} \\ G(z) &= \frac {z + 1}{(1 - z)(1 - z^3)} \\ &= \frac {z + 1}{(1 - z)((1-z) (1+z+z^2))} \\ &= \frac {z + 1}{(1 - z)^2(z^2 + z + 1)}. \end {align*}

Answer 3

Si se empieza a contar en $1$ , usted tiene $f(n)=\lfloor \frac{n+1}3 \rfloor+\lfloor \frac {n+2}3 \rfloor$

Answer 4

OEIS da varias posibilidades, dependiendo de cómo continúe la secuencia.

Uno es $$\text{round}\left(\tan\left( \frac{\pi}{2} \left(1-\frac{1}{n}\right)\right)\right).$$