Deje $f$ denotar un mapa de un espacio del producto $X \times Y$$Z$. Si para cada a $x\in X$, el mapa de $f(x,-)$ es continua, y lo mismo vale para todos los $y \in Y$, entonces es $f$ continuo en general? Si no, hay alguna condición impuesta a hacer $f$ continua?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No, independiente de la continuidad no, en general, implica la articulación de la continuidad. La función
$$f:\Bbb R^2\to\Bbb R:\langle x,y\rangle\mapsto\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2}&,\text{if }\langle x,y\rangle\ne\langle0,0\rangle\\\\0,&\text{if }\langle x,y\rangle=\langle 0,0\rangle\end{cases}$$
es continua en todas partes, excepto en el origen. En el origen es continua en cada variable por separado, pero no es continua.
Añadido: Útil palabras clave para realizar la búsqueda son independientes de la continuidad y de la articulación de la continuidad. Z. Piotrowski, un antiguo colega mío, hizo mucho trabajo en esta área, usted encontrará muchos de sus artículos aquí, y en ellos tanto en los resultados y otras referencias. Se advirtió, sin embargo, que los enlaces no siempre coinciden con el texto: el enlace a la integral (si ahora la fecha) de la encuesta Separada y conjunta de la continuidad es en realidad en número de $17$, no al número de $19$. Por lo que recuerdo, hay más resultados dando las condiciones bajo las cuales el conjunto de puntos de continuidad contiene un denso $G_\delta$en $X\times Y$ de las que están dando las condiciones que garantizan que una por separado función continua, conjuntamente continua.
Añadido el 8 de Marzo de 2015: Número de $51$ es una encuesta actualizada.
