Los grupos con un solo elemento de orden 2

Question

Estoy haciendo algunos ejercicios de Álgebra: Capítulo 0. En el segundo capítulo, se pide demostrar la siguiente:

$G$ es un grupo finito con un único elemento $f$ orden $2$. A continuación,$\operatorname{\Pi_{g\in G}}g=f$.

Este resultado es altamente plausible. Si multiplicamos los elementos en el orden de $$\begin{equation}e\cdot f\cdot \text{elements of order 3}\cdot\text{elements of order 4}\cdots,\end{equation}$$ y par de elementos con sus inversos, entonces obtenemos $f$, ya que es el único elemento que no tiene pareja.

Sin embargo, esto es sólo una posible orden de la multiplicación, y sabemos que, en general, diferentes a fin de dar resultados diferentes.

Así que me pregunto cómo podemos hacer el caso general. Gracias!

Answer 1

En general tenemos un resultado sobre el orden de los elementos que dice $|aba^{-1}|=|b|$ todos los $a,b\in G$.

Deje $p=\left|\prod_{g\in G} g\right|$

Usando este resultado, asumiendo $G$ es abelian, podemos constante de "eliminar" los pares de $(a,a^{-1})$$p$. Sin embargo, $f$ es el único elemento que es su propio inverso, por lo que este proceso se detiene cuando tenemos $p=|f|=2$. Pero $f$ es el único elemento de orden $2$$G$, por lo que

$$\prod_{g\in G} g = f$$