¿Cuántos rectángulos hay en un $8 \times 8$ ¿un tablero de ajedrez?

Question

¿Cuántos rectángulos hay en un $8 \times 8$ ¿un tablero de ajedrez?

\begin {array}{|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline & & & & & & & \\ \hline & & & & & & & \\ \hline & & & & & & & \\ \hline & & & & & & & \\ \hline & & & & & & & \\ \hline & & & & & & & \\ \hline & & & & & & & \\ \hline & & & & & & & \\ \hline \end {array}

Intento

Acabo de contarlos a través del trabajo de caja: a $1 \times 1: 64 $

$1 \times 2: 56 $

$\vdots$

$1 \times 8: 8$ Entonces,

$2 \times 2: 49$

$2 \times 3: 42 $

$\vdots$

El patrón continúa como parece que debería.

Así, podemos resumir todas estas soluciones como $8(1+\cdots+8)+7(1+\cdots+7)+\cdots+2(1+2)+1(1) = 750$ pero la respuesta correcta es $1296$ . ¿En qué me he equivocado?

Answer 1

En primer lugar, la forma fácil de contarlos es observar que cada rectángulo está completamente determinado por sus bordes superior e inferior y sus bordes izquierdo y derecho. Elige dos de las nueve líneas horizontales y dos de las nueve líneas verticales, y habrás elegido un rectángulo. A la inversa, cada rectángulo determina dos líneas horizontales y dos verticales, aquellas en las que se encuentran sus bordes. Por lo tanto, debe haber

$$\binom92^2=36^2=1296$$

rectángulos.

Tu cálculo es erróneo porque has olvidado que un rectángulo puede ser más ancho que alto, por lo que te has saltado la mitad de los rectángulos no cuadrados.