Estoy empezando un curso de introducción a la Teoría de Galois y acabamos de empezar a hablar de campos algebraicos cerrados y extensiones.
El ejemplo típico de campos algebraicamente cerrados es $\mathbb{C}$ y los típicos no ejemplos son $\mathbb{R}, \mathbb{Q}$ y campos finitos arbitrarios.
Estoy tratando de encontrar algún ejemplo explícito, no típico, de campos algebraicamente cerrados, pero parece una tarea complicada. ¿Alguna idea?
Otro ejemplo concreto es el siguiente Teorema de Puiseux :
Si $K$ es un campo algebraicamente cerrado de característica $0$ el campo $K\langle\langle X\rangle\rangle$ de la serie de Puiseux es un cierre algebraico del campo de las series de potencias formales $K((X))$ .
Nota:
$K\langle\langle X\rangle\rangle=\displaystyle\bigcup_{n\ge1}K((X^{1/n}))$
Puedes empezar con $\Bbb Q$ y tomar su cierre algebraico $\bar{\Bbb Q}\subsetneq\Bbb C$ y se obtiene un subcampo algebraicamente cerrado de $\Bbb C$ que es mucho más pequeño que $\Bbb C$ (contable frente a incontable). Luego se le puede añadir cualquier trascendental como $\pi$ y se puede tomar el cierre algebraico de esa $\overline{\bar{\Bbb Q}(\pi)}$ . Así que se pueden producir infinitos subconjuntos algebraicamente cerrados de $\Bbb C$ de esta manera. Lo que hace que $\Bbb C$ especial no es sólo que sea algebraicamente cerrada, sino que también es completa.
Otros ejemplos son los campos p-ádicos que tienen extensiones completas y algebraicamente cerradas que son muy diferentes de $\Bbb C$ .
@MarcoFlores Sí, estrictamente significa que toda secuencia de Cauchy converge. Informalmente significa que no hay agujeros. Por ejemplo, aunque se sume a $\Bbb Q$ las raíces de todos los polinomios con coeficientes racionales, el espacio sigue teniendo agujeros, como $\pi$ y $e$ . Puedes escribir secuencias de números racionales que se agrupan alrededor de $\pi$ pero no tienen ningún lugar al que converger si $\pi$ no está ahí.
En Sobre los números y los juegos Conway definió una estructura de campo sobre el conjunto de todos los ordinales, y llama al resultado $\mathbf{On}_2$ . Es un campo algebraicamente cerrado de característica dos, si estás dispuesto a ignorar el hecho de que es realmente demasiado grande para ser un conjunto.
También es posible "cortar" $\mathbf{On}_2$ es decir, considerar sólo los ordinales menores que un límite dado y obtener algunos campos algebraicamente cerrados. Por ejemplo, los ordinales más pequeños que $\omega^{\omega^\omega}$ dan el cierre algebraico de $\mathbb F_2$ , cf. este artículo de Lenstra .
Aquí está una introducción a esta construcción.
Una cosa interesante es que la teoría de primer orden de campos algebraicamente cerrados de característica $0$ es $\kappa$ -categoría para $\kappa > \aleph_0$ . Esto significa que hay otro campo algebraicamente cerrado de característica $0$ de la misma cardinalidad que $\mathbb{C}$ ¡! Tal vez no sea la respuesta más útil, pero creo que es bastante interesante.
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¿Qué quiere decir "explícito"? Un ejemplo muy impotante y bonito de campo cerrado de alg. diferente de $\;\Bbb C\;$ es el cierre algebraico de los racionales $\;\overline{\Bbb Q};$ . También se pueden tomar los cierres alg. del $\;p\,-$ campos adictos y etc., o los cierres alg. de los campos finitos de característica positiva $\;\overline{\Bbb F_p}\;$ ...
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math.stackexchange.com/questions/627662/ y mathoverflow.net/questions/25344/ tienen algunas buenas respuestas.
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Debo señalar que $\mathbb C$ realmente ES un ejemplo no trivial de un campo algebraicamente cerrado. Los matemáticos necesitaron años para demostrarlo.