Quiero derivar de Euler infinito fórmula de producto
$$\displaystyle \sin(\pi z) = \pi z \prod_{k=1}^\infty \left( 1 - \frac{z^2}{k^2} \right)$$
mediante el uso de Euler reflexión de la ecuación de $\Gamma(z)\Gamma(1-z) \sin(\pi z) = \pi$ y la definición de $\Gamma(z)$ como un infinito producto, es decir,
$$\displaystyle \Gamma(z) := \frac{1}{z} \prod_{k=1}^\infty \frac{(1+\frac{1}{k})^z}{1+\frac{z}{k}}.$$
Para ser precisos, puedo obtener que
$$\sin(\pi z) = \pi z(1-z) \left( \prod_{k=1}^\infty \frac{1+\frac{z}{k}}{(1+\frac{1}{k})^z} \right) \left( \prod_{k=1}^\infty \frac{1+\frac{1-z}{k}}{(1+\frac{1}{k})^{1-z}} \right)$$
por tanto, quiero probar
$$(1-z) \left( \prod_{k=1}^\infty \frac{1+\frac{z}{k}}{(1+\frac{1}{k})^z} \right) \left( \prod_{k=1}^\infty \frac{1+\frac{1-z}{k}}{(1+\frac{1}{k})^{1-z}} \right) = \prod_{k=1}^\infty \left( 1 - \frac{z^2}{k^2} \right).$$
Yo multiplicado las cosas y lo consiguió a la forma
$$(1-z) \prod_{k=1}^\infty \frac{1 + \frac{1}{k} + \frac{z(1-z)}{k^2}}{1 + \frac{1}{k}} = (1-z) \prod_{k=1}^\infty \left( 1 + \frac{\frac{z(1-z)}{k}}{1+\frac{1}{k}}\right)$$ however the $(1-z)$ factor de frente me está dando algunos problemas; no estoy seguro de cómo proceder.
