Si dos parábolas no se cortan, hay una línea que no se cruzan cualquiera de ellos?

Question

Dos parábolas en un plano dado, de tal manera que no se cruzan. Es cierto que hay una línea en el plano de tal manera que no se cruzan alguno de ellos?

Answer 1

Las parábolas son convexas, por lo que siempre van a estar en el mismo lado de su tangente líneas. Encontrar la tangente a las líneas en los puntos de mayor acercamiento. Estas líneas son paralelas. Intuitivamente, si ellos no fueron, a continuación, tomar un "pequeño paso" a lo largo de la parábola en la dirección correcta se acercará más. (Ligeramente) más rigurosamente, si usted sabe cómo derivar el método de los multiplicadores de lagrange, esta es una idea similar. así que usted puede elegir cualquier línea entre esas líneas paralelas para satisfacer el problema.

Si uno está contenida dentro de la otra los de arriba no funciona, porque incluso cuando el punto de enfoque más cercano no existe, las parábolas de estar ambos en el mismo lado de la línea tangente. Es un caso sencillo, aunque, sólo el uso de la directriz de la gran parábola como su respuesta.

Answer 2

A tomar un poco más alta de la ceja enfoque: Considerar las parábolas junto con sus interiores (en el sentido obvio, por ejemplo, el interior de $y=x^2$$y>x^2$). Ahora usted tiene dos cerrados, conjuntos convexos cuyas fronteras no se cruzan. Ya sea que uno está contenida dentro de la otra, o las dos conjuntos son disjuntos. El primer caso es trivial. En el último caso, el uso de Hahn–Banach separación teorema para encontrar una línea (en realidad, un conjunto de nivel de un funcional lineal) que separa a los dos.

Edit: Debido a la falta de compacidad [ver los comentarios], el método anterior podría producir una común de la línea tangente a las dos parábolas. Para darnos un poco de margen, podemos utilizar la siguiente compactar "rebanadas" de propiedad de la convex hull $C$ de una parábola (demostrado fácilmente en la configuración estándar,$y=x^2$): Si $f(C)$ está delimitado por debajo de donde $f$ es lineal y funcional, a continuación, $C\cap f^{-1}((-\infty,m])$ es compacto para cualquier $m$.

Así que vamos a $C_1$, $C_2$ ser disjuntas convexa de los cascos de las parábolas. De Hahn–Banach, obtenemos un funcional lineal $f$$\sup f(C_1)\le m:=\inf f(C_2)$. El uso de la compacidad de la rebanada $C_2\cap f^{-1}((-\infty,m+1])$, podemos traducir $C_2$ una pequeña distancia a lo largo de su eje de simetría para obtener $C_2'$ disjunta de a $C_1$ y que contengan $C_1$ en su interior. Ahora se aplican de Hahn–Banach, una vez más, para obtener un funcional lineal $g$$\sup g(C_1)\le\inf g(C_2')$. Desde $\inf g(C_2')\lt\inf g(C_2)$, un nivel de $g$ resuelve el problema.

Answer 3

He aquí un método sencillo, que espero que se adapte.

Aquí es una parábola, cortesía de WolframAlpha:

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Aquí es otra parábola.

Hacer las parábolas se cruzan? (No.) Hay una línea, y = -0.25, que no se cruzan, ya sea parábola? (Sí, y hay otros.)