¿Para qué valores de $n$ es $n(n+2)$ ¿un número triangular?

Question

Un número triangular es un número que se puede escribir de la forma $\frac{m(m+1)}{2}$ para algún número natural $m$ . ¿Para qué valores de $n$ es $n(n+2)$ ¿un número triangular?

Usando un método de fuerza bruta pude generar primero $24$ tales valores de $n$ pero más allá de eso es demasiado lento para generar. Aquí están los primeros $24$ valores de $n$ tal que $n(n+2)$ es un número triangular:

1
3
10
22
63
133
372
780
2173 
4551
12670
26530
73851
154633
430440
901272
2508793
5253003
14622322
30616750
85225143
178447501
496728540
1040068260

PD: Este es el último paso para la pregunta intercambio de contadores . Agradecería que me dieran sólo pistas.

Answer 1

Usted está tratando de resolver $n(n+2)=\frac{m(m+1)}{2}$ . Esto se puede escribir como $(n+1)^2-1 =\frac{(2m+1)^2-1}{8}$ o:

$$(2m+1)^2-8(n+1)^2 = -7$$

La ecuación $x^2-8y^2=-7$ se denomina ecuación de tipo Pell, y como tiene la solución $(x,y)=(1,1)$ tiene infinitas soluciones. En concreto, si $(x,y)$ es una solución, $(3x+8y,3y+x)$ es una solución. Esto da todas las soluciones a partir de $(x,y)=(1,1)$ y $(x,y)=(5,2)$ .

Todas las soluciones del tipo Pell tienen $x$ impar, así que esto siempre te dará un par $(m,n)$ .

Las fórmulas de los valores $n+1$ es:

$$n+1=\frac{1}{2\sqrt{8}}\left((1+\sqrt{8})(3+\sqrt{8})^k -(1-\sqrt{8})(3-\sqrt{8})^k\right)$$

y

$$n+1=\frac{1}{2\sqrt{8}}\left((5+2\sqrt{8})(3+\sqrt{8})^k -(5-2\sqrt{8})(3-\sqrt{8})^k\right)$$

Es una expresión horrible, pero indica que también se puede encontrar una fórmula cerrada para la suma de la primera $n$ . También existe una recursión lineal para la secuencia de estos valores de $n$ .

Answer 2

En lugar de buscar una solución directa para encontrar $n$ se puede buscar una solución para encontrar los valores de m y con la que se pueden encontrar los valores de $n$ respectivamente.

Se puede ver que los valores m siguen un patrón de programación dinámica, si se busca. Para obtener ayuda, puede consultar el enlace oeis ( A006451 ).

Para obtener los valores de $n$ de la $m$ podemos utilizar simplemente las fórmulas para resolver la ecuación cuadrática y escribir n como $$ n = \sqrt{\bigg(\frac{y^2 + y +2}2\bigg)} - 1 $$