¿Qué es un inmersos submanifold?

Question

Una inmerso submanifold es, por definición, la imagen de un suave inmersión. Sé que algunos ejemplos, pero me falta general de comprensión de lo inmerso submanifolds aspecto. Por ejemplo, se puede caracterizar subconjuntos de un colector $M$ que están inmersos submanifolds de una dimensión dada?

Por ejemplo, los subconjuntos de a $M^n$ que están incrustados liso $k$-dimensiones submanifolds $S$ son aquellos para los cuales $(M, S)$ es localmente diffeomorphic a $(\mathbb R^n, \mathbb R^k)$, así que mirando a $S$ un instante se puede decir si es un suave submanifold. ¿Cómo se hace el mismo para inmerso submanifolds? Es la unión de countably muchos incrustado submanifolds un inmersos? ¿Hay alguna inmerso submanifolds que no puede ser descompuesta como la unión de countably muchos incrustado submanifolds?

Answer 1

Bing es una casa con dos habitaciones, es la imagen de un inmersos en la esfera que no está en posición general.

Posición General de las inmersiones son fáciles de construir fuera de los locales de fotos --- bueno especie de fácil construir. Considerar dentro de una $n$-ball

$D^n=$ $\{ (x_1,\ldots, x_n) : \sum x_j^2 \le 1 \}$ todos los de la $k$-dimensiones sub-espacios que han $(n-k)$ de la $x_j =0$. Este es el local de la imagen para una mínima dimensión de múltiples puntos. (La mayor de la multiplicidad, la más pequeña de la dimensión de la intersección). Usted no tiene que elegir todos los subespacios, pero sólo algunos de ellos. De esta manera usted tiene fotos locales para componer. Ahora, si usted sabe cómo colocar asas a los espacios, se puede asociar identificadores de que la inmersión de las piezas. Uno puede construir Chico de la superficie desde este punto de vista.

A veces te quedas atascado. Por ejemplo, la figura 8 tiene un doble punto. El muchacho de la superficie tiene un punto triple. La limitación de un genérico esfera de la eversión da un $3$-colector en $4$-espacio con una cuádruple punto. Pero si usted comienza a partir de la intersección $(a,b,c,d,0)$ $\cap (a,b,c,0,e)$ $\cap (a,b,0,d,e)$ $\cap (a,0,c,d,e)$ $\cap(0,b,c,d,e)$ en el $5$-ball, no hay manera de cerrar esta a $4$-colector con una quíntuple punto. Hay un montón de codimension $1$ inmersiones en $5$-espacio, pero todos ellos tienen un número par de quíntuple puntos.

Usted debería considerar también ecuatorial esferas en una gran tridimensional de la esfera. Esta es la frontera de el segundo ejemplo que les he dado. Usted puede conectar estos con asas para conectarse inmersiones.

En un ambiente muy cool ejemplo en el 3-espacio (más allá del Muchacho de la superficie y una acme botella Klein) se obtiene por la torsión de una figura 8 una rotación completa. Una mitad de un giro que le da una botella de Klein, un completo giro da una inmerso toro cuya estable encuadre es inducida por la Mentira de la estructura del grupo.

Codimension $0$ ejemplos son también muy importantes. El estándar $2$-disco con dos asas que representa un pinchazo en un toro es la imagen de una inmersión en el avión.

Answer 2

Miré dentro de la definición de wikipedia y no me gusta. No veo lo que esta definición es que es bueno para el y estoy seguro de que nadie realmente lo uso.

Para mí inmerso submanifold es un argot local de la incrustación.

Sin embargo, la respuesta a tu última pregunta: SÍ y NO, y ambos siguen directamente de la definición de...

Answer 3

Creo que Anton dijo básicamente lo mismo, pero voy a ampliar un poco. Cuando pienso en un inmersos submanifolds, dos razonable definiciones vienen a mi mente:

1. Un mapa de $f:N \to M$ tales que N, M son ambos diferencial de colectores, $\dim M >\dim N$, y el mapa es localmente una incrustación, es decir, la derivada de la matriz en cada punto no tiene núcleo.

2. El mismo que el anterior, pero con el requisito adicional de que el mapa sea transversal a sí mismo.

(De hecho, para mí una inmersión es casi siempre el número 2, pero 1 podría tener más sentido a veces. En general, todos los libros que he visto dicen que no hay consenso universal sobre la definición de la inmerso/embedded submanifolds)

Creo que no tiene sentido pensar en el submanifold como sólo la imagen del mapa. En particular, la principal razón para tener submanifolds es hablar de vectores tangente a la submanifolds, y esto no tiene sentido a menos que usted tiene el mapa. (Cuando uno se imagina un vector tangente a la imagen, lo que realmente taling es una tangente vecotr a N).

Si usted acepta 2 como la definición, es una interesante pregunta de si se puede reconstruir el mapa de f a partir sólo de la imagen en cualquier razonable de manera única. Creo que la respuesta debe ser sí razonable de ejemplos, pero podría ser una extraña contraejemplo. Si 1 es la definición, la respuesta ciertamente es "no" (imagínense a una figura de ocho, donde la auto-intersección es un pequeño intervalo en lugar de sólo un punto). En cualquier caso, no creo que usted será capaz de hacer cualquier cosa con el inmersos submanifold a menos que usted tiene el mapa.

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Mis respuestas a las preguntas específicas de la original cartel:

1) Unión de countably muchos submanifolds es una inmerso submanifolds iff que usted considere la posibilidad de un discontinuo de la unión de countably muchos abstracto colectores de un colector. Tenga en cuenta que para incrustado submanifolds, siempre es posible construir un mapa de la correspondiente resumen manifold M.

2) Esto depende de si usted requiere de los incrustado submanifolds a ser cerrado. La figura de un ocho no se puede descomponer en una unión de embedded cerrado diferenciable colectores. Si ellos no tienen que ser cerrados, como Andrey dijo en los comentarios, se puede cubrir el N por la apertura de los conjuntos suficientemente pequeño como para que el mapa es una incrustación en cada uno.

Answer 4

Creo que la respuesta a la última pregunta es no, y más en general contable sindicatos de embedded submanifolds son precisamente las imágenes de (no-necesariamente-inyectiva) inmersiones.

Boceto de la prueba: Una contables de la unión de los colectores es de un colector, por lo que una contables de la unión de incrustaciones es una inmersión. Por el contrario, por el Teorema de la Función Inversa, una inmersión $f: M\to N$ es localmente-en-$M$ una incrustación; de este modo, obtener una "cubierta de la inmersión por incrustaciones", y desde los colectores son Lindelöf hay una contables subcover.

Para responder a su segunda pregunta anterior, tenemos que analizar si hay imágenes de las inmersiones que no se encuentra inmerso submanifolds (= imagenes-de-inyectiva-inmersiones).

(edit: se corrigió un error)