Extraño comportamiento de $\lim_{x\to0}\frac{\sin\left(x\sin\left(\frac1x\right)\right)}{x\sin\left(\frac1x\right)}$

Question

Muy bien, tacha todo lo que está debajo de la línea. Permítanme presentar una pregunta cohesiva no estropeada por repetidas ediciones.

El límite $\lim_{x\to a}f(x)=L$ existe si para cada $\epsilon>0$ hay un $\delta>0$ tal que $|f(x)-L|<\epsilon$ cuando $0<|x-a|<\delta$ .

Así, $\lim_{x\to0}\sin\left(\frac1x\right)$ no existe porque, siendo que oscila infinitamente cerca de $0$ no hay $\epsilon,\delta$ .

Por otro lado, con el límite $$\lim_{x\to0}\frac{\sin\left(x\sin\left(\frac1x\right)\right)}{x\sin\left(\frac1x\right)}\\\lim_{x\to0}x\sin\left(\frac1x\right)=0\\y=x\sin\left(\frac1x\right)\\\lim_{y\to0}\frac{\sin y}{y}=1\\\lim_{x\to0}\frac{\sin\left(x\sin\left(\frac1x\right)\right)}{x\sin\left(\frac1x\right)}=1$$

esta prueba puede ser demostrada. Sin embargo, como $\sin\left(\frac1x\right)$ oscila infinitamente, por la misma definición de límite que utilizamos para demostrar lo anterior, el límite no existe. ¿Cómo se resuelve esta discrepancia?

Answer 1

Una cosa útil que hay que saber sobre los límites, es que si se evalúa un límite de la forma $\lim_{x \to a} f(g(x))$ y sabes que $\lim_{x \to a} g(x) = b$ entonces $\lim_{x \to a} f(g(x)) = \lim_{y \to b} f(y)$ (suponiendo que todo sea bonito y continuo). Así que, como ya has calculado el límite $\lim_{x\to 0} x \sin\frac{1}{x} = 0$ lo consigues: $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x \sin\frac{1}{x})}{x \sin\frac{1}{x}} = \lim_{y\to 0}\frac{\sin y}{y} = 1$$

Editar

Permítanme ser un poco más preciso. Supongamos que usted sabe que $\lim_{y \to b} f(y) = L$ (así que para $\varepsilon$ tienes $\delta_f(\varepsilon)$ de manera que si $|y -b| < \delta_f(\varepsilon)$ tienes $|f(y) - L| < \varepsilon$ ) y que $\lim_{x \to a} g(x) = b$ (así que para $\varepsilon$ tienes $\delta_g(\varepsilon)$ de manera que si $|x -a| < \delta_g(\varepsilon)$ tienes $|g(x) - b| < \varepsilon$ ). Afirmo que entonces, sin ninguna suposición adicional $\lim_{x \to a} f(g(x)) = L$ . Con $g(x) = x \sin\frac{1}{x}$ y $f(y) = \frac{1}{y}\sin y$ Esto resuelve su problema.

El razonamiento es el siguiente: Tome $\varepsilon > 0$ y definir $\delta := \delta_g(\delta_f)$ . Afirmo que si $|x-a| < \delta$ entonces $|f(g(x))-L| < \varepsilon$ . En primer lugar, porque $|x-a| < \delta_g(\delta_f(\varepsilon))$ , usted tiene $|g(x)-b| < \delta_f(\varepsilon)$ . A continuación, porque $|g(x)-b| < \delta_f(\varepsilon)$ , usted tiene $|f(g(x)) - L| < \varepsilon$ como se prometió.

Answer 2

El límite es indefinido: no importa lo pequeño que sea un $\delta>0$ que elijas, existirá un positivo $n\in\mathbb{Z}$ con $0<\frac{1}{n\pi}<\delta$ . Llamemos a su función $f(x)$ . Entonces el denominador de $f(x)$ es cero, lo que hace que $f(x)$ en sí mismo indefinido en tales valores. Por lo tanto, sería falso decir " $|f(x)-l|<\epsilon$ para todos $0<|x|<\delta$ ", ya que $f(x)$ es indefinido para $x=\frac{1}{n\pi}$ .

Answer 3

Como sabemos que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ . El punto a tener en cuenta aquí es que $lim_{x\to 0} x = 0$ . Espero que hayas conseguido la respuesta con esta pista.

Answer 4

(Pista) ¿Qué es $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ ?

Answer 5

Tienes algo de la forma $\frac{\sin(u)}u$ , si $u=x\sin(1/x)$ . ¿Puede transformar esto en un límite de $u$ ? Si $x\to 0$ , $u\to?$