Mostrar la convergencia uniforme de la delimitadas las funciones implica uniforme boundness.

Question

Supongamos que $f_{n} : E\rightarrow \mathbb{R}$ es una secuencia delimitada de funciones que converge uniformemente. Demostrar que no existe $M > 0$ tal que para todos los $n \in \mathbb{N}$$x\in E$,

$$\left | f_{n}(x) \right | \leq M$$

Yo creo que esto tiene que ver con el supremum, pero no es muy seguro.

Answer 1

En primer lugar, usted puede ser que desee para mostrar que si cada una de las $f_n$ es limitada, lo que se es $f$. Puedes hacer eso?

Segundo, puede que desee utilizar $$|f_n(x)|-|f(x)|\le|f_n(x)-f(x)|$$ What happens if you take $\epsilon =1$ en la definición de convergencia uniforme?

También, usted puede utilizar que para cada una de las $\epsilon$ hay un $N$ que $m,n\geq N$ implica $$|f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon$$ for each $x$ in $E$. Assume for each $n$ we have over $E$ that $$|f_n(x)|<M_n$$ In such as case, take $N$ such that $n,m\geq N$ implies for every $x\in E$ that $$|f_n(x)-f_m(x)|<1$$

Si fijamos decir $m=N$, entonces para cada a $n\geq N$, y todos los $x\in E$ $$|f_n(x)-f_N(x)|<1$$

Pero entonces, cuando $n\geq N$, $E$ que $$|f_n(x)|<1+|f_N(x)|<1+M_N$$

Se queda con un número finito de $M_1,\dots,M_{N-1}$ a la izquierda. Se puede obtener un uniforme bound?

Answer 2

Has probado a hacer los dibujos? Escribir la definición de convergencia uniforme y tratar de pensar en un ejemplo (por ejemplo, una convergencia de la secuencia de la constante de funciones)

También, considere el siguiente problema más sencillo: Mostrar que una secuencia convergente $(x_n) \subset \mathbb R$ está acotada.