No estoy seguro de que esto es más simple de lo que tenía en mente, pero una cosa que puedes hacer es aproximado de $f$ y tratar de pasar a través de la suave categoría.
Por uniforme aproximación no es un buen mapa de $g$ tal que $\|f-g\|_\infty\leq \epsilon$, y luego por los Adrs del teorema no es un valor regular $y$ de $g$ en el intervalo $[-\epsilon,\epsilon]$, de modo que $\{g=y\}$ es un codimension-$1$ incrustado submanifold. En particular, $\{g=y\}$ tiene un número finito de componentes, y al menos uno de estos debe separar $0$ de $\partial B$ (algunos simple argumento de que se necesita aquí). Así, por cada $n$ hay algunos conectado conjunto cerrado $C_n$ separando $0$ de $\partial B$ tales que $|f|\leq1/n$ en $C_\epsilon$.
Pasar a una larga de $(C_n)$ tal que $C_n$ converge en Hausdorff distancia a $C$. Desde $C_n\subconjunto \{|f|\leq 1/n\}$ para todo $n$ tenemos $C\subconjunto\{f=0\}$, y ya que cada uno $C_n$ está conectado de manera es $C$. Sólo queda demostrar que $C$ separa $0$ de $\partial B$. Deje que $\gamma$ ser cualquier camino continuo de $0$ a $\partial B$. Desde cada $C_n$ separa $0$ de $\partial B$ hay algún punto $x_n$ de $\gamma$ en $C_n$. Por cada $\epsilon>0$ finalmente $x_n$ es $\epsilon$-barrio de $C$, por lo que cualquier punto límite de $(x_n)$ es un punto de $\gamma$ en $C$. Por lo tanto $\gamma$ cruza $C$.