Complejo integral con zeta

Question

esta es una tarea problema estoy atascado en: Calcular la siguiente integral para $\sigma > 1$ $$\displaystyle \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T}\left|\zeta{(\sigma + it)}\right|^2dt .$$

Traté de integrar más el contorno dado por el semicírculo de radio $T$ con un diámetro de $\sigma - it$ $\sigma + it$va a la "izquierda" y la aplicación del teorema de los residuos, pero parece que no se va a ninguna parte. Supongo que parte de mi confusión viene de no entender completamente la estructura de la función $\left|\zeta{(\sigma + it)}\right|^2$. Estoy en lo cierto al decir que esta función es holomorphic en todas partes, excepto en la 1, donde se tiene un polo de orden 2 y no simple polo (elevando al cuadrado el laurent expansión de $\zeta$ a 1)?

Yo prefiero no ver una solución completa de inmediato, pero las sugerencias en la dirección correcta sería apreciada.

Answer 1

Alguien puede tener algunos de los mejores consejos, pero tal vez esto le ayudará (me estoy mirando en un cálculo de $\int_{-T}^T |\zeta(\sigma+it)|^{2k}\ dt$, en el caso de que existan discrepancias en mi respuesta). En primer lugar, tenga en cuenta que $|\zeta(s)|^2$ no es holomorphic (ya que es un valor real), así que tratando de usar holomorphy probablemente no sea útil. En lugar de eso, vamos a ser directos. Escribir $\zeta(s)$ como una suma parcial (de términos menos de $T$) plus de error, $S+E$. Ahora, su integral es $\int_0^T (S+E)(\bar S+\bar E)$. Expanda el integrando y vinculado (en $T$) todos los términos distintos de $\int_0^T |S|^2$ (todos ellos deben desaparecer cuando se divide por $T$ y tomar el límite). Enlaza el término (multiplique todo lo que se recogen los términos correctos juntos, este paso puede ser difícil). Espero que no se han dado más de lo que usted quiere. Me puede dar más pasos si usted los necesita.

Answer 2

Sugerencia: Utilice el hecho de que $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}$$\sigma>1$. A continuación, ya que todos los de la serie converge absolutamente, podemos libremente reorganizar todo, y traer la integral dentro de una doble serie, que conduce al resultado.

Advertencia! Spoiler/Solución De La Siguiente Manera:

Para $\sigma>1$, ya que el $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}$, podemos escribir $$\left|\zeta\left(\sigma+it\right)\right|^{2}=\zeta\left(\sigma+it\right)\overline{\zeta\left(\sigma+it\right)}=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\left(mn\right)^{-\sigma}n^{-it}m^{it}.$$ Now, we bring the integral inside the sum and split into cases depending on whether or not $\frac{m}{n}=1$. When $m\neq n$ then $$\int_{-T}^{T}n^{-it}m^{it}dt=\int_{-T}^{T}\left(\frac{m}{n}\right)^{it}dt=\frac{i\left(\frac{m}{n}\right)^{-iT}-i\left(\frac{m}{n}\right)^{iT}}{\log\left(\frac{m}{n}\right)}.$$ It is then not hard to show that $$\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m\neq n}\left(mn\right)^{-\sigma}\frac{i\left(\frac{m}{n}\right)^{-iT}-i\left(\frac{m}{n}\right)^{iT}}{\log\left(\frac{m}{n}\right)}$$ is bounded in absolute value for a fixed $\sigma>1$, and hence factor of $\frac{1}{2T}$ them implies that the off diagonal elements contribute $0$ in the limit. When $n=m$ , the integral is exactly $2T$ , so we conclude that $$\lim_{T\rightarrow \infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\left|\zeta\left(\sigma+it\right)\right|^{2}dt=\sum_{n=m}\left(mn\right)^{-\sigma}=\sum_{n=1}^\infty (n^2)^{-\sigma}=\zeta(2\sigma).$$

Edit: Corregido última línea.