Por qué no sólo el estudio de las consecuencias de Hausdorff axioma? ¿Qué hacer declaraciones como, "la arbitrariedad de La unión de abiertos es abierta," la ganancia nosotros?

Question

Definir que un par de $(X,\tau)$ donde $\tau \subseteq \mathcal{P}(X)$, es un espacio de Hausdorff si para todas las distintas $a,b \in X$ existe $A,B \in \tau$ tal que $$a \in A, \;b \in B, \;A \cap B = \emptyset.$$

Tenga en cuenta que un espacio de Hausdorff, de acuerdo a esta definición, no tiene por qué ser un espacio topológico, y viceversa.

Llamar a los elementos de $\tau$ "abrir sets", o si no $\tau$ es una topología.

A continuación, muchas de las definiciones de espacios topológicos aplican igualmente bien a los espacios de Hausdorff. En particular, la noción de una secuencia convergente puede ser definido como es habitual.

En particular, definir que una secuencia $x : \mathbb{N} \rightarrow X$ converge iff existe $a \in X$ tal que para abrir todas las $A$ tal que $a \in A$ existe $N$ tal que para todos los $n \geq N$ sostiene que $x_n \in A$.

Entonces podemos escribir esta prueba para demostrar que cada secuencia convergente en $X$ tiene un único límite. (es decir, $a$ es único).

Presumiblemente, más en general, el resultado de que cada red tiene un único límite también puede ser probada.

Así que ¿por qué no estudiar los límites arbitrarios espacios de Hausdorff? Lo que va mal cuando descuidamos a asumir declaraciones como, "la arbitrariedad de La unión de abiertos es abierta"?

Edit: para aclarar, mi interés se centra en la interacción entre el espacio topológico axiomas y la Hausdorff axioma. Lo que se trata de un topológico de Hausdorff espacio que es tan mágica? Debe haber algún tipo de sinergia, o que hubieran sido estudiados de forma independiente el uno del otro.

Tenga en cuenta que podemos definir la continuidad de funciones entre espacios topológicos en términos de preimages de bloques abiertos. Permite llamar a este "pre-imágenes continua". Y podemos definir la continuidad de funciones entre espacios de Hausdorff en términos de límites de redes. Permite llamar a este "límite continuo." Tal vez estas nociones coinciden precisamente en el caso de Hausdorff espacios topológicos?

Tenga en cuenta también que la topología generada por un espacio de Hausdorff es necesariamente Hausdorff. Así que para cualquier espacio de Hausdorff $X$, permite a $X'$ denotar la (necesariamente Hausdorff) topológica del espacio generado por $X$. Tal vez una función de $f : X \rightarrow Y$ entre los espacios de Hausdorff es el límite continua si y sólo si $f : X' \rightarrow Y'$ es (abierto-preimages)-continua.

Answer 1

Veo dos principales respuestas para las preguntas de la forma

¿Por qué no estamos estudiando <caso más general de algo> ?

y a menudo ambos se aplican:

1. El caso más general no es tan agradable.

2. Todavía no ha llegado de forma natural en los trabajos sobre teorías / problemas que tenemos en la actualidad estudio.

Quizás más contundente a la redacción de la segunda respuesta sería

2'. Aún no ha entrado en una situación donde a nadie le importaba.

También hay a veces una tercera respuesta, que es

3. La gente hacer el estudio que, no es sólo la corriente principal.

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Para tu pregunta en particular, acerca de los espacios de sólo supone para satisfacer la Hausdorff separación axioma:

Realmente no he puesto mucho esfuerzo en averiguar si la respuesta 1 se aplica, pero creo que es bastante probable que la respuesta 2. Tal vez es cierto que una compleja teoría de estos Hausdorff-sólo-espacios podrían ser desarrollados; pero como soy consciente de que, actualmente, no hay ninguna razón para que alguien le importaba. Igual podría preguntar acerca de la teoría de la "cae", que son (digamos) establece equipado con un ternario operación $\oslash$ la satisfacción de la identidad $$\oslash(a,\oslash(a,b,c),\oslash(c,b,a))=\oslash(b,a,c).$$ A menos que, y hasta que alguien demuestra que tal cosa se produce de forma natural en las matemáticas que ya estamos haciendo, me parece muy difícil estar interesado; y, en efecto, la teoría de estas cosas ellos mismos sufren, debido a la falta de intuición y de la interconexión con el resto de las matemáticas. Una vez que el mundo se da cuenta de que el conjunto de estructuras complejas en un colector, o los puntos racionales de una curva elíptica, naturalmente, las formas de una caída, a continuación, usted comenzará a conseguir personas interesadas en la cae, y por otra parte, esta conexión le dará cosas en las que pensar, las cosas que preguntar, cosas para investigar, y la teoría de la cae va a empezar a florecer. Sin este tipo de conexión, cualquier matemático que fue educado y escuchado a alguien explicar la definición de una caída más probable es que no sería capaz de decir cualquier cosa acerca de ellos porque carecen de experiencia previa o de la intuición de un objeto.

Bueno, estoy exagerando un poco, con cae; Hausdorff-sólo-los espacios son un poco más cerca de la cotidiana experiencia matemática de una caída. Y no me refiero a sonido enojado o desalentador; es genial para hacer preguntas acerca de por qué hacemos las cosas de una manera y no de otra, sobre todo cuando la respuesta 1 se aplica y de la manera en que el caso general son peores han sido investigados a fondo, y usted obtendrá algunos de los verdaderos matemáticos experiencia de aprendizaje acerca de por qué estamos haciendo las cosas de la manera que somos. Pero el punto es de esperar que claro.