Una definición de 'exacta' para un aumentada (semi)simplicial objeto puede encontrarse en Tierney y Vogel (1969), Simplicial y resoluciones derivados de los functors (MR, DOI 10.1007/BF01110914):
Definición. Para un proyectiva de la clase $\mathcal{P}$, un objeto $A$ y un (semi)objeto simplicial $X_\bullet$, podemos decir $\partial^0 : X_0 \to A$$\mathcal{P}$ -exacto si $\partial^0$ $\mathcal{P}$- epimorphism y, para cada $n$, en la comparación de morfismos $X_{n+1} \to K_{n+1}$ $\mathcal{P}$- epimorphism, donde $K_{n+1}$ es el núcleo de simplicial $$X_n \mathrel{\mbox{$\begin{matrix} \smash{\to} \newline \smash{\scriptstyle\vdots} \newline \smash{\to} \end{matriz}$}} X_{n-1}$$
es decir, tenemos morfismos $k^{n+1}_{0}, \ldots, k^{n+1}_{n+1} : K_{n+1} \to X_n$, que es universal con respecto a la propiedad que
$$\partial^n_i \circ k^{n+1}_i = \partial^n_i \circ k^{n+1}_{i+1}$$
(Recordemos que, por el simplicial identidades, $\partial^n_i \circ \partial^{n+1}_i = \partial^n_i \circ \partial^{n+1}_{i+1}$, por lo que hay una comparación de morfismos $X_{n+1} \to K_{n+1}$ por la universalidad.)
En particular, en la categoría regular, si $\mathcal{P}$ es la clase de regular projectives, y $X_0 \to A$ $\mathcal{P}$- exacto, tenemos un kernel par de diagrama de
$$K_1 \rightrightarrows X_0 \to A$$
que también es un coequaliser diagrama (por imagen única factorización), por lo que tenemos una exacta de la horquilla.
