Para dar sentido de "campo", "álgebra", "anillo" y "semi-ring" en los nombres de establecer sistemas de

Question

1. Hay algunos sistemas con algebraica de los títulos, tales como "campo", "álgebra", "anillo" y "semi-anillo" (y posiblemente otros títulos), en sus nombres. Algunos ejemplos son

   • un sigma campo (aka sigma álgebra, delta del álgebra),
   • un delta anillo de conjuntos,
   • un sigma anillo de conjuntos,
   • un campo (también conocido como álgebra) de conjuntos,
   • un anillo de conjuntos en el fin de la teoría del sentido,
   • un anillo de conjuntos de medida en la teoría del sentido,
   • un semi-anillo de conjuntos,
   • un semi-álgebra de conjuntos,

   entre otros (aún no lo sé, pero te invitamos a añadir más).

   Ellos parecen sugerir algunas estructuras algebraicas, pero no es el real algebraica de la estructura, al menos en un caso,"un campo de conjuntos es no es un "campo" en el sentido del álgebra abstracta, sino un valor Booleano álgebra" (no estoy muy seguro acerca de otros casos).

   Me preguntaba si hay algunas definiciones de "campo", "álgebra", "anillo" y "semi-anillo" que aparecen en los nombres de los sistemas? Si no, ¿cuáles son las razones para el nombre de un conjunto de este sistema con uno de estos títulos, en lugar de elegir aleatoriamente a uno?

2. ¿Por qué hay algunos sistemas sin estos algebraica de los títulos en ellos, tales como

   • topología,
   • la convexidad de la estructura,
   • $\lambda$ sistema,
   • la monotonía de la clase,
   • $\pi$ sistema
   • sistema de cierre?

   Por ejemplo, no es sólo una operación de conjunto finito de intersección en la definición de un $\pi$ sistema, y sólo arbitrarias intersección en un sistema de cierre. Así, en el espíritu de "campo" y "ring" para dos operaciones, se un $\pi$ sistema y un sistema de cierre ser llamado "grupo"?

Gracias y saludos!

Answer 1

Siempre recuerde que los nombres que elegimos para las cosas son una cuestión de conveniencia, y no hay realmente ninguna de las reglas a seguir. (Pero ayuda cuando la gente de recogida de predicción cosas!)

He aquí una rápida respuesta que probablemente no es históricamente exacta, pero probablemente será poner su mente en la facilidad: en álgebra universal un álgebra es sólo un conjunto con diferentes operaciones y normas que actúan en ella. En ese sentido, los grupos, anillos, anillos de series, etc, son todos sólo genérico de "álgebra de operadores". Así que usted puede ver que algunas personas (al menos) no les importa el uso de "álgebra" muy flexible.

Como ya lo han comprobado, el conjunto de las versiones de los anillos y álgebras son un poco diferentes de la algebraicas. Vamos a centrarnos en las similitudes por un momento, para ver por qué los nombres son una especie de paralelo el uno al otro:

1. Anillo y anillo-de-conjuntos: Ambos implican un conjunto cerrado bajo dos operaciones.

2. Campo y campo-de-conjuntos: Ambos implican un conjunto cerrado bajo dos operaciones, además de una única operación (inverso multiplicativo/complementación)

El caso de un "álgebra Booleana" es interesante, porque es como que se encuentra en la intersección de estas dos nociones. Mientras que alguien dijo que se entramado teórico, también es importante recordar que ellos son realmente honesto a la bondad de los anillos, también.

El uso de "semi-" delante de los términos tiene una bonita uso constante, y que es sólo para decir que no es tan fuerte como la habitual versión. Esto es cierto tanto para un semi-anillo-de-conjuntos y un semiring.

Para encontrar un análogo de la $\sigma$-álgebras en forma de anillo en teoría, tendríamos que pensar en un campo con infinitary operaciones; sin embargo, no sé si nada de eso existe. Me hacer tener un ejemplo sencillo de un semiring con infinitary operaciones, y que es el semiring de ideales de un anillo. (Es decir, el conjunto a es el conjunto de ideales de un anillo fijo, junto con las operaciones de adición ideal y el ideal de la multiplicación.)

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Por tu ejemplo de una $\pi$-sistema, creo que la mejor analógico es un semigroup, ya que no hay "inversos" proporcionado por el complemento. Si usted tomó un $\pi$-sistema y requiere que sea cerrado bajo complementa, entonces yo estaría más inclinado a una analogía que a un grupo.