Un problema sobre el grupo abelian

Question

Dado un grupo de $G$, vamos a $G_m$ ser el grupo generado por el conjunto de $S=\{g^m|g\in G\}$.

Probar que si $G_m$ $G_n$ son tanto abelian, a continuación, $G_{\gcd(m,n)}$ es también abelian.

Answer 1

Voy a intentar generalizar Nicky Hekster la solución a la coprime caso. Deje $\gcd(m,n)=r$, con $m=ra$, $n=rb$, y $a,b$ coprime

Deje $S = \{g^r \mid g \in G \}$, y deje $M = G_m = \langle k^a \mid k \in S \rangle$, e $N = G_n = \langle k^b \mid k \in S \rangle$. Por lo $M$ $N$ son abelian normal subgrupos de $G$,$[M,N] \le M \cap N \le Z(\langle M,N \rangle)$.

Es suficiente para probar que cualquiera de los dos elementos de la $g^r$ $h^r$ $S$ viaje. Tenemos $r = \lambda m + \mu n$ algunos $\lambda,\mu \in {\mathbb Z}$, y desde $g^m$ viajes con $h^m$ $g^n$ viajes con $h^n$, es suficiente para demostrar que $u=g^m= (g^r)^a$ viajes con $v = h^n = (g^r)^b$.

Ahora $u^{-1}v^{-1}uv=z \in M \cap N$, lo $v^{-1}uv = uz$. Desde $z$ centraliza $u$ y $v$, $v^{-1}u^bv = u^bz^b$. Pero $u^b,v \in G_n$, que es abelian, por lo $v^{-1}u^bv=u^b$ y, por tanto,$z^b=1$. Del mismo modo $z^a=1$ y, desde $a$ $b$ son coprime, $z=1$, y hemos terminado.