La diferenciación de ambos lados de un no-ecuación diferencial

Question

Estoy trabajando en la resolución de $t$ en la expresión $$\ln t=3\left(1-\frac{1}{t}\right)$$ and although I can easily tell by inspection and by graphing that $t=1$, me gustaría probarlo con más rigor.

Me quedé atrapado tratando de resolver esto de manera algebraica, así que traté de tomar la derivada de cada lado con respecto a $t$ para obtener

$$\frac{1}{t}=3\left(\frac{1}{t^{2}}\right).$$

Sin embargo, esto implica que $t=3$, lo cual es incorrecto.

¿Por qué no puedo tomar la derivada de cada lado como este? ¿Qué estoy haciendo mal o malentendido?

Answer 1

Para responder a la pregunta general "¿por Qué no puede [uno] de diferenciar a cada lado de una ecuación]?": La ecuación original, de la forma $f(t) = g(t)$, actúa como una condición (es decir, sólo es cierto para algunos real $t$, en este caso un número finito), no como una identidad (verdadero para todos los $t$ en algún intervalo abierto).

Cuando diferenciar una función de $f$ a un punto de $a$, implícitamente el uso de los valores de $f$ en un barrio de $a$. Desde su $f$ $g$ no son iguales en cualquier barrio, no se puede esperar, diferenciando a producir una nueva condición verdadera.

En el caso de un ejemplo aclara, tome $f(t) = t$$g(t) = 0$. La ecuación de $t = 0$, sin duda tiene una solución, pero la diferenciación de ambos lados da $1 = 0$.

Por el contrario, es seguro para diferenciar ambos lados de, por ejemplo, $\cos(2t) = \cos^2 t - \sin^2 t$, dado que esta ecuación es verdadera para todos los verdaderos $t$.

Answer 2

Deje $f(t) = \ln t - 3 (1 - 1/t)$. Estás diciendo que $f(1)= 0$$f'(3) = 0$; no hay ningún problema aquí. El punto es que cuando se trata de encontrar un valor de $t$ que satisface la primera ecuación, usted está buscando una raíz de $f$, mientras busca un valor de $t$ que satisface la segunda ecuación es la misma como la búsqueda de una raíz de $f'$. En general, estos no son los mismos y que no tienen ninguna razón para esperar que te dan la misma respuesta.

No estoy seguro de que hay maneras más fáciles de resolver esto que por la inspección, sin embargo.

Answer 3

La derivada de una función mide el gradiente de la función en varios puntos, y este no te da la solución para $t$ de la original. Podemos utilizar el método de diferenciación para analizar la ecuación, sin embargo:

$$\text{Let }f(t)=\ln t-3+\frac 3t$$

$$\text{Then }f'(t)=\frac 1t-\frac 3{t^2}$$

Podemos ver que $f'(3)=0,\forall t\in (0,3),f(t)$ está disminuyendo, y $\forall t\in (3,+\infty),f(t)$ es creciente, por lo $t=3$ es un mínimo global para el rango válido de $t\in \mathbb R^+.$

Continuando con el análisis:

$$\ln t=3\left(1-\frac 1t\right)\implies t={e^3\over e^{\frac 3t}}\implies e^{\frac 3t}={e^3\over t}$$

que es un buen casi simétrica de la ecuación. La observación de que ahora se muestra de inmediato que $t=1$ es una solución, pero la solución que se inicia en el comienzo de nuevo:

$$\ln t=3\left(1-\frac 1t\right)\implies \ln t^{\frac 13}=1-\frac 1t\le \ln e$$

$$\implies t^{\frac 13}\le e\implies t\le e^3\text{ and } \ln e^3\gt 3\left(1-\frac 1{e^3}\right)$$

$$\text{Also, }\ln (e^3-e^2)=2+\ln (e-1)\lt 3-\frac 3{e^3-e^2}$$

Con esto, sabemos que la otra solución es que algunos $t\in (e^3-e^2,e^3).$ Gráfica muestra el valor real en$t\approx 16.8,$, y es probable que un análisis más detenido podría venir para arriba con un decente cerrado expresión de este valor.