Como se señaló en los comentarios, la resultante del colector dependerá, en general, en el camino escogido para conectar $N_1$$N_2$.
Elija un punto de $x_i\in N_i$ $i=1,2$ y un embedded arc $\alpha$ conectar $x_1$$x_2$$M\setminus(N_1\cup N_2)$. El arc $\alpha$ tiene un producto regular barrio de la forma $\alpha\times D^{m-1}$ cuyo endpopint-discos, que me denotar por $D_1^{m-1}$$D_2^{m-1}$, contiene más pequeños discos de $D_1^{n-1}$$D_2^{n-1}$$\partial N_1$$\partial N_2$. Ahora puede elegir una tira de la sección de $\gamma$ de la forma $\alpha\times D^{n-1}$ y adjuntarlo a $N_1\cup N_2$ a lo largo de $D_1^{n-1}$$D_2^{n-1}$.
Este es el conectado suma de $N_1$ $N_2$ a lo largo de $\gamma$. Como se ha dicho depende de $\gamma$.
Para hacer la construcción liso, es suficiente para hacer en en local de coordenadas de los gráficos de $X_1,\dots, X_m$ cerca de $x_i, i=1,2$.
No tienes que localmente $N_i$ corresponden a $\{X_{n+1}=\dots=X_m=0, X_n\leq 0\}$ y usted puede arreglar las cosas para que $\alpha$ corresponde a la $X_{n}$-eje.
En tales coordenadas el alisado es fácil: sólo tienes que hacer para $n=2$ y, a continuación, se extienden en una rotacionalmente simétricas.
Como para el/la dependencia de $\gamma$, ten en cuenta que si usted está en codimension al menos $3$ cualquier $\alpha$ $\alpha'$ como anteriormente se isotópica (siempre que la $N_i$ está conectado, de lo contrario dependerá de la conectado compoents donde el $x_i$ pertenecen). Esto es porque hay enouch habitación en $\mathbb R^{m+3}$ para la separación de $R^m$ a partir de una línea, de modo que uno puede resolver fácilmente evetual cruces.
EDIT: La oración de arriba no es formalmente correcta. Para ser más precisos, una vez que se eligió un arco $\alpha$ a continuación, puede mover los puntos de $x_i$ donde quieras, pero la dependencia de la homotopy clase de $\alpha$ $M$ todavía está en juego.
Por último, si el codimension es, al menos,$2$, a continuación, cualquiera de los dos de la franja de la sección $D^{n-1}\times [0,1]$ $D^{m-1}\times [0,1]$ son isotópica. De hecho, un strip-sección está dada por $n-1$ linealmente independientes secciones, que podemos ortonormalize.
Dado dos secciones $(s_1,\dots,s_{n-1})$ $(s_1',\dots,s_{n-1}')$ podemos isótopos $s_1$ $s_1$porque $S^{m-2}$ es simplemente conectado. La isotopía de $s_2$ ahora se llevará a cabo en $s_1^\perp$, por lo tanto, en $S^{m-3}$. Y así sucesivamente. Para el último isotopía necesitamos $S^{m-1-(n-1)}=S^{m-2}$ simplemente se conecta, por lo tanto $m-n\geq 2$.
En los comentarios veo que el derecho codimension es, al menos,$4$. Así que puede haber sido confuso con índices y notas, pero esto es fácilmente controlado.
