Es $R/N(R)$ un fielmente plano $R$-módulo?

Question

Estoy estudiando recientemente fielmente plano de los módulos y me gustaría saber lo siguiente:

Es $R/N$ fielmente plano como $R$-módulo, donde $R$ es un anillo conmutativo con unidad y $N$ es el subconjunto de nilpotent elementos de $R$?

Answer 1

Si $I\subset R$ es arbitraria ideal, a continuación, $R/I$ sólo puede ser plana si $I=I^2$ : esto se desprende de tensoring la secuencia exacta $0\to I\to R$ $R/I$ y obtener la exacta secuencia $0\to I\otimes _R R/I=I/I^2\stackrel {0}{\to} R/I$.

Esta es una herramienta para demostrar que muchos de los cocientes de un anillo no son planas sobre el anillo:
Por ejemplo, si $k$ es un campo, entonces el anillo de $R=k[\epsilon]=k[T]/(T^2)$ tiene como nilpotents $N=(\epsilon)$, y desde $(\epsilon)^2=(0)\neq (\epsilon)$, el cociente $R/N$ no es plana por $R$, lo que responde a su pregunta negativamente (no tenemos la llanura de $R/N$$R$, mucho menos fieles planitud).