¿Cómo los subconjuntos cerrados en el producto de la topología de aspecto

Question

Sé que los subconjuntos abiertos de la topología producto de $X=X_1\times X_2\times...\times X_3$ donde $X_1,X_2,...,X_n$ espacios topológicos, es la unión de los subconjuntos de X: $U_1\times U_2\times ...\times U_n$ donde $U_1,U_2,...,U_n$ son subconjuntos abiertos de $X_1,X_2,...,X_n$ respectivamente.

Tengo una pregunta, ¿cómo los subconjuntos cerrados? puedo decir que son la unión de los subconjuntos de X: $F_1\times F_2 \times...\times F_n$ donde $F_1,F_2,...,F_n$ son subconjuntos cerrados de $X_1, X_2,..., X_n$ respectivamente? De hecho, ¿qué son?

gracias

Answer 1

Los conjuntos de la forma$F_1\times\dots\times F_n$, $F_j$ cerrado por $1\leq j\leq n$, están cerradas desde su complemento es abierto: es, de hecho, $$\bigcup_{j=1}^n\left(\prod_{i=1}^{j-1}X_i\times (X_i\setminus F_i)\times \prod_{i=j+1}^nX_i\right).$$ Pero no todos los conjuntos cerrados tienen esta forma: por ejemplo, en el plano de la $\Bbb R^2$, la unidad de disco $\{(x_1,x_2)\in\Bbb R^2, x_1^2+x_2^2\leq 1\}$ no puede ser escrito como un producto cartesiano.