Número infinito de racionales entre cualquier dos reales.

Question

Deje $a$ $b$ ser reales con $a<b$. Demostrar que existen infinitos racionales $x$ tal que $a<x<b$.

Mi plan de acción fue asumir que $x$ es el más pequeño de tales racional y encontrar otro racionales en el intervalo de $(a, x)$, pero estoy luchando para hacer que funcione. Una sugerencia será mucho preferido para una solución completa.

Answer 1

Tenga en cuenta que los números reales son Arquímedes campo, por lo que para cualquier número real $r$ tenemos algunos entero $n>r$. Esto significa que para cualquier número real $\epsilon>0$, tenemos algunas $n>1/\epsilon$, lo $1/n<\epsilon$. Además, los racionales son densos en los reales, por lo que podemos encontrar algunos racional $x$ tal que $a<x<b$.

Deje $n$ ser tal que $1/n<b-x$. A continuación, $x+\frac{1}{n},x+\frac{1}{n+1},\ldots$ es un conjunto infinito de racionales entre $a$$b$.

Answer 2

Si usted ya sabe (o no puede demostrar que no existe, al menos, uno racional entre cualesquiera dos números reales, entonces usted puede hacer esto por $a < b$:

Hay un número racional $x$ tal que $a < x < \frac{a+b}{2}.$

Hay un número racional $y$ tal que $\frac{a+b}{2} < y < b.$

Ahora $a < x < y < b,$ $x$ $y$ racional.

Answer 3

No hay más pequeños, tales racional. Pero su estrategia básica funcionará si podemos demostrar que hay al menos uno de esos racional. Esbozamos una prueba del hecho de que hay al menos dos. Hay algún detalle que necesita ser llenado.

Deje $\epsilon=\dfrac{1}{b-a}$. Entonces por algo que, sin duda, ya se ha demostrado, no es un número entero positivo $N$ tal que $\dfrac{1}{N}\lt \epsilon/2$.

No es un entero más grande $m$ tal que $\dfrac{m}{N}\lt a$. Argumentan que $$a\lt \frac{m+1}{N}\lt \frac{m+2}{N}\lt b.$$

Answer 4

Este PDF puede ayudar, pero creo que he mejorado la imagen :

De donde podemos observar a través de una inspección : $\color{#1FB4BF}{1/n} < \color{#E431D2}{(y - x)}$ todos los $x, y \in \mathbb{R}$.
Por separado de la línea de arriba, también sabemos $ \; k/n < x $.
Agregar las dos desigualdades anteriores: $ k/n + \color{#1FB4BF}{1/n}< x + \color{#E431D2}{(y - x)}$.
En resumen, $k/n + \color{#1FB4BF}{1/n} = \dfrac{k+1}{n}$ $\in (x,y)$ es el número racional deseado.

Answer 5

Decir $a\ne b$ y queremos mostrar que infinitamente muchos racionales son entre $a$$b$. A continuación,$|a-b|>0$. Existe un entero $n$ tan grande que $1/n < |a-b|$? Si no, entonces $|a-b|>0$ es un límite inferior de la set $\{1/n:n\in\{1,2,3,\ldots\}\}$, que por lo tanto tiene un infimum $c$ que es positivo y por lo tanto tiene un recíproco $1/c>0$, e $c=\sup\{1,2,3,\ldots\}$. Desde $c>0$ es el menor número mayor que cualquier número entero positivo, $c/2$ es menor que la suma enteros positivos $n$, lo $c$ es menor que $2n$, pero $2n$ es un entero positivo, por lo que tenemos una contradicción. Conclusión: para algún entero positivo $n$,$1/n<|a-b|$. A partir de ahí no es difícil mostrar que para cada denominador $m\ge n$, algunas racionales con denominador $m$ entre $a$$b$.