¿Cuál es el máximo número de regiones en que $\mathbb{R}^{3}$ puede ser dividido por $n$ elipsoides? (Cada elipsoide tiene el mismo tamaño). Permite indicar este número por $r_{n}$.
Claramente $r_{1}=2$. Pero incluso con dos elipsoides las cosas se complican: Ciertamente, $r_{2}\ge 6$ (por ejemplo,$x^2+(y/2)^2+z^2$$x^2+y^2+(z/2)^2$), y creo que 6 es el máximo.
Tenga en cuenta que $r_{3}\ge 14$ debido a que es posible sacar tres puntos suspensivos dividiendo el plano en 14 regiones. Más generalmente $$r_{n}\ge 2n^{2}-2n+2,$$ desde $n$ elipses dividen el plano en que en la mayoría de $2n^{2}-2n+2$ regiones, y esto ocurre si y sólo si alguna de las dos elipses se cruzan en 4 puntos y ninguno de los tres tiene intersección vacía (Marque este, y también este post tiene una pregunta relacionada).
Tenga en cuenta que $n$ círculos (resp. puntos suspensivos) (resp. triángulos equiláteros) dividen el plano en que en la mayoría de $n^2-n+2$ (resp. $2n^2-2n+2$) (resp. $3n^2-3n+2$) de las regiones. Tenga en cuenta que para $n\ge 1$ $n^2-n+2\le 2n^2-2n+2\le 3n^2-3n+2$. Parece que esta situación se generaliza a las dimensiones superiores. Es decir, el número máximo de regiones en las que 3-espacio puede ser dividido por $n$ elipsoides se encuentra por encima del correspondiente número de esferas y a continuación el número correspondiente para regular tetraedros (es decir, cada una de las cuatro caras es un triángulo equilátero).
Ahora, $n$ esferas de dividir el espacio de 3 dimensiones en la mayoría de los $n(n^2-3n+8)/3$ regiones. Pero ¿cuál es el máximo número de regiones en las que 3-espacio puede ser dividido por $n$ regular tetraedros?
Desde el punto de vista de la complejidad asintótica $r_{n}=\mathcal{O}(n^{3})$, como se indica por el general teoremas de la teoría de los arreglos de las superficies.
