¿Cómo se puede demostrar que $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\zeta (2n)}{4^{n-1}}(1-\frac{1}{4^n})=\frac{\pi }{2}$

Question

$$\zeta (2)(1-\frac{1}{4})+\frac{\zeta (4)}{4}(1-\frac{1}{4^2})+\frac{\zeta (6)}{4^2}(1-\frac{1}{4^3})+...=\frac{\pi }{2}$$

El WolframAlph no podía reconocer de forma cerrada que es $\pi/2$ cuando me dio la serie,

así que he usado el WolframAlph de nuevo para calcular muchos de los términos de una serie infinita.

Creo que el WolfarmAlph no se puede decir que el valor es $\pi/2$,por Lo que debemos probarlo.

Answer 1

Desde entonces,

$\begin{align}\sum_{k=1}^\infty\zeta(2k)\,x^{2k} &= \sum_{k=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{2k}}{n^{2k}}\\ &=\sum_{n=1}^\infty\frac{\frac{x^2}{n^2}}{1-\frac{x^2}{n^2}}\\ &=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^2}{n^2-x^2}\\ &=-\frac{x}{2}\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{x+n} + \frac{1}{x-n}\right)\\ &=-\frac{x}{2}\left(\pi\cot(\pi x)-\frac1x\right)\\ &=\frac{1}{2}\left(1-\pi x\cot(\pi x)\right) \end{align}$

Enchufe en los casos particulares $x = \dfrac{1}{2}$ $x = \dfrac{1}{4}$ en la serie.

Answer 2

Tenemos: $$\zeta(2n)\left(1-\frac{1}{4^n}\right)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(2k+1)^{2n}}\tag{1}$$ por lo tanto: $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\zeta(2n)}{4^{n-1}}\left(1-\frac{1}{4^n}\right)=4\sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(4k+2)^{2n}}=4\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(4k+2)^2-1}\tag{2}$$ y el resultado de la siguiente manera: $$\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(4k+2)^2-1}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{4k+1}-\frac{1}{4k+3}\right)=\frac{1}{2}\arctan 1 = \color{red}{\frac{\pi}{8}}.\tag{3}$$

Answer 3

$$\zeta(2n) = \frac{1}{\Gamma(2n)}\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{2n-1}}{e^x-1}\,dx $$ por lo tanto tenemos: $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)}{4^{n-1}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)}{2^{2n-2}}= 2\int_{0}^{\infty}\frac{\sinh(x/2)}{e^x-1}\,dx =\int_{0}^{\infty}e^{-x/2}\,dx = 2$$

también tenemos : $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)}{4^{2n-1}} = \int_{0}^{\infty}\frac{\sinh(x/4)}{e^x-1}\,dx =\frac12\int_{0}^{\infty}\frac{1}{e^{\frac{3x}{4}}+e^\frac{x}{4}}\,dx =2-\frac{\pi}{2}$$

última integral nos puede slove el uso de $u=e^\frac{x}{4}$

poniendo todo junto :

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)}{4^{n-1}} -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)}{4^{2n-1}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)}{4^{n-1}}(1-\frac{1}{4^{n}})=\frac{\pi}{2}$$