Una secuencia que converge débilmente, pero no en el sentido Cesàro

Question

Deje $H$ ser un espacio de Hilbert sobre $\mathbb{C}$ con producto interior $\langle\cdot,\cdot\rangle$, y vamos a $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subseteq H$, $x\in H$. Estoy utilizando las siguientes definiciones:

• $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ norma converge a $x$ $\Longleftrightarrow$ $x_n\rightarrow x$ $\Longleftrightarrow$ $\lim_{n\rightarrow\infty}\|x_n-x\|=0$.
• $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ converge débilmente a la $x$ $\Longleftrightarrow$ $x_n\rightharpoonup x$ $\Longleftrightarrow$ $\lim_{n\rightarrow\infty}\langle y,x_n\rangle=\langle y,x\rangle$ para todos los $y\in H$.
• $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ converge en la Cesàro sentido $x$ $\Longleftrightarrow$ $x_n\xrightarrow{Ces} x$ $\Longleftrightarrow$ $\lim_{N\rightarrow\infty}\|\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nx_n-x\|=0$.

Si $x_n\rightarrow x$,$x_n\rightharpoonup x$$x_n\xrightarrow{Ces}x$. Por otro lado, si $H=\mathbb{C}$ con el estándar de producto interior, entonces $(-1)^n\xrightarrow{Ces}0$ pero $(-1)^n\not\rightharpoonup 0$. Estoy teniendo algunas dificultades, sin embargo, encontrar una secuencia que converge débilmente, pero no en el Cesàro sentido. Desde débiles y fuertes de la convergencia son equivalentes en un número finito de dimensiones del espacio, una secuencia sólo puede existir si $H$ es de dimensiones infinitas. Por todo esto, estoy tratando de encontrar un ejemplo en el espacio de $\ell^2(\mathbb{N})$ de las secuencias de $\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\ldots)$ tal que $\sum_{n=1}^\infty|\alpha_n|^2<\infty$ con la habitual producto interior $\langle\alpha,\beta\rangle=\sum_{n=1}^\infty\bar{\alpha}_n\beta_n$.

La secuencia que me estoy planteando es

$$x_1=\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots\right),$$ $$x_2=\left(0,1,\frac{1}{2},\ldots\right),$$ $$x_3=\left(0,0,1,\ldots\right),$$ $$\vdots$$

yo.e, la secuencia consistente en repetidas ocasiones el desplazamiento de la secuencia armónica a la derecha. Me las he arreglado para mostrar que $x_n\rightharpoonup 0$, pero no he sido capaz de demostrar que $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ no concurre en el Cesàro sentido. Estoy en el camino correcto? Si es así, ¿cómo puedo demostrar que Cesàro convergencia falla? Si no, lo que sería una secuencia que realmente funciona?

Answer 1

Actualmente no estoy seguro acerca de su secuencia, pero voy a editar la respuesta, si veo algo.

Mientras tanto, en el siguiente ejemplo funciona: Definir $$ x_n := e_k \text{ para } 2^k \leq n < 2^{k+1}, $$ donde $e_k$ $k$th miembro de la norma base de la $\ell^2$.

Luego tenemos a $x_n \rightharpoonup 0$, pero $$ \bigg(\frac{1}{2^{k+1} - 1} \sum_{\ell = 1}^{2^{k+1} - 1} x\ell \bigg)_{k} = \frac{(2^{k+1} - 1) - 2^k + 1}{2^{k+1}-1} = \frac{2^{k}}{2^{k+1} - 1} \rightarrow \frac{1}{2}. $$ En particular, esta muestra $$ \limsup_k \bigg \Vert \frac{1}{2^{k+1} - 1} \sum_{\ell = 1}^{2^{k+1} - 1} x\ell \bigg\Vert \geq \limsup_k \bigg| \bigg(\frac{1}{2^{k+1} - 1} \sum_{\ell = 1}^{2^{k+1} - 1} x_\ell \bigg)_{k} \bigg| \geq 1/2 $$ y por lo tanto $(x_n)_n$ no converge Cesaro a $0$.

La intuición es que si estamos en $2^{k+1}$, entonces todavía cerca de la mitad de toda la secuencia de miembros que se han visto son iguales a $e_k$.

Nota sin embargo, que a pesar de que Cesaro convergencia no se sostiene en general, Mazur del lema (https://en.wikipedia.org/wiki/Mazur%27s_lemma) muestra que siempre podemos encontrar alguna combinación convexa que converge fuertemente.