Intuitiva explicación para un polinomio de expansión?

Question

Hay un ituitive explicación de la fórmula: $$ \frac{1}{\left(1-x\right)^{k+1}}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\begin{array}{c} n+k\\ n \end{array}\right)x^{n} $$ ?

Expansión de Taylor alrededor de x=0 : $$ \frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+... $$

diferenciar esta k tiempos de probar esta fórmula. pero hay una explicación fácil para esto? Cualquier cosa similar a la binomial ley demostrar que el coeficiente de $x^{n}$ es $\left(\begin{array}{c} n+k\\ n \end{array}\right)$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

Tener en cuenta el número de soluciones (decir $\displaystyle a_n$) a la ecuación:

$$x_1 + x_2 + \dots + x_{k+1} = n$$

Donde $x_i$ son enteros no negativos, y $n$ es un número entero no negativo.

Las Estrellas y las Barras de enfoque: elegir dónde colocar $\displaystyle k$ bares, de un total $\displaystyle n+k$ spots, nos da que el número de soluciones es exactamente $a_n = \displaystyle \binom{n+k}{n}$

Pero, si usted mira esto mediante la Generación de Funciones de enfoque, vemos que

$$(1+x + x^2 + \dots)^{k+1} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$$

es decir,

$$\frac{1}{(1-x)^{k+1}} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+k}{n} x^n $$

Answer 2

Si por el binomio ley que quieres decir $$ (1+x)^n=\sum_k\binom{n}{k}x^k\etiqueta{1} $$ a continuación, en sí. Tenga en cuenta que $$ \binom{n}{k}=\frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)}{k!}\la etiqueta{2} $$ Considerar lo $(2)$ se parece a un exponente negativo, $-n$: $$ \begin{align} \binom{-n}{k} &=\frac{-n(-n-1)(-n-2)\dots(-n-k+1)}{k!}\\ &=(-1)^k\frac{(n+k-1)(n+k-2)(n+k-3)\dots n}{k!}\\ &=(-1)^k\binom{n+k-1}{k}\tag{3} \end{align} $$ Enchufe $(3)$ a $(1)$ y obtenemos $$ \begin{align} \frac{1}{(1-x)^{k+1}} &=(1-x)^{-(k+1)}\\ &=\sum_n\binom{-(k+1)}{n}(-x)^n\\ &=\sum_n(-1)^k\binom{n+k}{n}(-x)^n\\ &=\sum_n\binom{n+k}{n}x^n\tag{4} \end{align} $$

Answer 3

He aquí una manera de mirarlo.

Supongamos que usted tiene $$f(x)=\sum_{n\ge 0}a_nx^n\;,$$ and you multiply both sides by $\frac1{1-x}$:

$$\begin{align*} \left(\frac1{1-x}\right)f(x)&=\left(\sum_{n\ge 0}x^n\right)\left(\sum_{n\ge 0}a_nx^n\right)\\ &=(1+x+x^2+\dots)(a_0+a_1x+a_2x^2+\dots)\\ &=a_0 +(a_0+a_1)x+(a_0+a_1+a_2)x^2+\dots\\ &=\sum_{n\ge }\left(\sum_{k=0}^na_k\right)x^n\;. \end{align*}$$

En otras palabras, el coeficiente de $x^n$ en el producto es $a_0+a_1+\dots+a_n$.

Ahora piensa en la construcción del triángulo de Pascal:

$$\begin{array}{c} 1\\ 1&1\\ 1&2&1\\ 1&3&3&1\\ 1&4&6&4&1\\ 1&5&10&10&5&1\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots \end{array}$$

El coeficiente binomial $\binom{n}k$ es la entrada en la fila $n$ columna $k$ (numerados de $0$). Por otra parte, desde $$\binom{n}k=\binom{n-1}k+\binom{n-1}{k-1}\;,$$ each entry is the sum of the numbers above it in the column immediately to the left: this is the identity $$\sum_{i=0}^n\binom{i}k=\binom{n+1}{k+1}\;.\tag{1}$$

En la primera ($k=0$) de la columna de triángulo de Pascal tiene los coeficientes en el poder de expansión de la serie de $\frac1{1-x}$. Hemos visto antes que los coeficientes en el poder de expansión de la serie de $\frac1{(1-x)^2}$ son sólo el acumulado de las cantidades de estos coeficientes, $1,2,3,\dots$, pero estas son sólo las entradas en el segundo ($k=1$) de la columna de triángulo de Pascal. Del mismo modo, los coeficientes en el poder de expansión de la serie de $\frac1{(1-x)^3}$ acumulado sumas de $1,2,3\dots$ o $1,3,6,\dots$, los números en la tercera ($k=2$) de la columna de triángulo de Pascal. En general, los coeficientes en el poder de expansión de la serie de $\frac1{(1-x)^{k+1}}$ deben ser los coeficientes binomiales en la $k$ columna de triángulo de Pascal, los de la forma $\binom{n}k$. Todo lo que queda es obtener la fila de indexación de derecho: queremos que la $1$ que es la primera entrada distinto de cero en la columna $k$ a ser el término constante. Es en la fila $k$, por lo que el coeficiente de $x^n$, en general, debe ser el coeficiente binomial en la fila $n+k$, y obtenemos

$$\frac1{(1-x)^{k+1}}=\sum_{n\ge 0}\binom{n+k}kx^n=\sum_{n\ge 0}\binom{n+k}nx^n\;.$$