Lo que los colectores están delimitadas por RP^impar?

Question

Real de los espacios proyectivos de $\mathbb{R}P^n$ $\mathbb{Z}/2$ cohomology anillos de $\mathbb{Z}/2[x]/(x^{n+1})$ y el total de Stiefel-Whitney clase $(1+x)^{n+1}$, que es $1$ cuando $n$ es impar, por lo que se deduce que extraño dimensiones son los límites de compact $(n+1)$-colectores. Mi pregunta es: ¿hay alguna especialmente agradable construcciones de estos $(n+1)$-colectores?

Estoy especialmente interesado en el caso $n=3$. Creo que podemos obtener un ejemplo claro de una 4-variedad obligado por $\mathbb{R}P^3$ el uso de Rokhlin/Lickorish-Wallace, pero no parece que generalizar a dimensiones superiores a todos fácilmente. Hay un montón de diferentes 4-colectores con esta propiedad?

Answer 1

$\mathbb RP^3$ de doble cubre la lente de espacio $L_{4,1}$, por lo que es el límite de la asignación de cilindros de que la cobertura de mapa.

En general $\mathbb RP^n$ $$ n impar doble cubre una lente de espacio. Así que en general $\mathbb RP^n$ es el límite de un bonito estándar $I$-paquete sobre el lente apropiado en el espacio. Para ser más específicos, definir el general $L_{4,1}$ como $S^{2n-1} / \mathbb Z_4$ donde $Z_4 \subconjunto S^1$ son el 4-th raíces de la unidad, y estamos usando el estándar de la acción de la unidad de los números complejos en una extraña dimensiones de la esfera $S^{2n-1} \subconjunto \mathbb C^n$.

Edit: la generalización de Tim construcción, usted tiene el haz de fibras $S^1 \S^{2n-1} \to \mathbb CP^{n-1}$. Esto permite pensar $S^{2n-1}$ como el límite de la tautológica $D^2$-paquete de más de $\mathbb CP^{n-1}$. Puedes mod todo el paquete por la antipodal mapa y recibe $\mathbb RP^{2n-1}$ como el límite de la disco paquete de más de $\mathbb CP^{n-1}$ con Euler clase $2$. Así que esto le da una orientable colector de delimitación de $\mathbb RP^{2n-1}$, mientras que el ejemplo anterior es no orientable.

Answer 2

Tomar el complejo de la superficie de $Z_1 ^2 + Z_2 ^2 + Z_3^2 =1$ en el complejo espacio de 3 dimensiones, $\mathbb{C}^3$ y se cruzan con el balón $|Z_1|^2 + |Z_2|^2 + |Z_3|^2 \le 1$ para obtener una explícita 4-manifold con frontera incrustado en $\mathbb{C}^3$ cuyo límite es de $\mathbb{R}P^3$, se dio cuenta por la intersección de la superficie compleja con el 5-esfera $|Z_1|^2 + |Z_2|^2 + |Z_3|^2 = 1$.

Para verificar, split $Z_a = x_a + i y_a$ en sus partes real e imaginaria de $x_a, y_a$, hacer un poco de álgebra y ver que la hipersuperficie es diffeomorphic a la tangente del paquete de estándar de dos esfera $S^2$, que dos-esfera se dio cuenta dentro de $(x_1, x_2, x_3)$ espacio con el $y_a = 0$. (He escuchado este complejo de superficie se llama la 'hypersphere' o 'esfera de la complejidad' o algo así.)

De la intersección de la hipersuperficie con el 5-ball $|Z_1|^2 + |Z_2|^2 + |Z_3|^2 \le 1$ es lo mismo que sacar el disco paquete de Tim Perutz de la construcción.

La configuración de $|Z_1|^2 + |Z_2|^2 + |Z_3|^2 = 1$ dentro de la hipersuperficie es el $RP^3$, que los límites de la 4-colector.

Así, usted puede tomar su 4-colector de ser un `Stein de dominio" en el estándar de $\mathbb{C}^3$.

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Más explícita aún, con un CR-a un lado:

Después de algunos rescalings, esta incrustación de $RP^3$ es esencialmente Rossi ejemplo de una analítica CR estructura en tres-esfera que no admite CR incrustar en cualquier $C^n$.

Considerar el mapa de $\mathbb{C}^2$ $\mathbb{C}^3$ dada por $$Z_1 = i[ (z^2 + w^2) + t (\bar z ^2 + \bar w ^2)]$$ $$Z_2 = [ (z^2 - w^2) - t (\bar z ^2 - \bar w ^2)]$$ $$Z_3 = 2 [ zw - t \barra z \bar w]$$ donde $t$ es real y $i = \sqrt{-1}$.

Un cálculo muestra que $Z_1 ^2 + Z_2 ^2 + Z_3^2 =-4 t (|z|^2 + |w|^2)^2$ mientras $|Z_1|^2 + |Z_2|^2 + |Z_3|^2 = 2(1 + t^2)(|z|^2 + |w|^2)^2.$ De ello se deduce que la imagen de la standard $S^3$ en $C^2$ es el complejo hipersuperficie $Z_1 ^2 + Z_2 ^2 + Z_3^2 =-4 t $ se cruzaba con la de 5 de bola
$|Z_1|^2 + |Z_2|^2 + |Z_3|^2 = 2(1 + t^2)$.

Desde el mapa de $(z, w) \a (Z_1, Z_2, Z_3)$ es de $2:1$ restringido a $S^3$, su imagen es de $\mathbb{R}P^3$.

Rossi 'no CR incrustación de afirmación por $t \ne 0$ se refiere a la inducida por la CR estructura $S^3$ (a través de la pull-back de su imagen del CR de la estructura). Cuando $t \ne 0$ cada CR función para este CR estructura $S^3$ es una analítica de la función de estos $Z_i (z,w)$'s, y por lo tanto es invariante bajo la antipodal de mapa $(z,w) \a (z, w)$. Así, el CR funciones de estos `torcida' CR estructuras en $S^3$ no puede separar (antipodal) puntos y por lo tanto $S^3$ no puede ser CR-incrustado.

Es un hecho de la diversión que toda la izquierda-invariante CR estructuras en $SU(2) = S^3$ surgir de esta manera, con el estándar CR estructura correspondiente a $t = 0$.

algunas referencias:

H. Rossi, Adjuntando la analítica de espacios para una analítica del espacio a lo largo de un pseudoconcave límite. 1965 Proc. Conf. Análisis Complejo (Minneapolis, 1964) p 242-256, Springer, Berlín.

D. Burns, el comportamiento Global de algunos tangencial de Cauchy-Riemann ecuaciones en "Parcial de Ecuaciones Diferenciales y Geometría" (Proc. Conf., El Parque De La Ciudad, Utah, 1977); Dekker, Nueva York, 1979, p. 51.

E. Falbel, No incorporable CR-colectores y la Superficie de las Singularidades. Inventar. De matemáticas. 108 (1992), Nº 1, 49-65.

Answer 3

$\mathbb{RP}^3$ es la unidad (co)tangente paquete $S^2$. Así límites que el disco de paquete en $TS^2$. Alternativamente, en cualquier momento usted tiene una 2-esfera de auto-intersección $\pm 2$ en una cerrada 4-colector - por ejemplo, cualquier esfera de Lagrange en un simpléctica 4-colector - se obtiene una división en dos piezas a lo largo de un $\mathbb{RP}^3$. Así, usted podría considerar la diagonal $S^2$ en $S^2\times S^2$, por ejemplo.