Probar que un número natural hecha completamente de 6 y 0 no es un cuadrado.

Question

Me puse el uso infinito de descenso. Deje $ N =a_na_{n-1}a_{n-2}\ldots\ldots a_2a_1a_0$ ser la representación decimal del número. A continuación, cualquiera de $N$ termina en un número par de ceros o $a_0=6$

Ahora todos los cuadrados son $\equiv 0 \text{ or } 1 \bmod 4 $. Pero si $N$ termina en $06\text{ or }66 $,$N\equiv 2 \bmod 4 $. Por lo tanto $ N $ no termina en $6$.

Si $N$ termina en un número par de ceros, entonces, a continuación,$ N=10^{2n}\cdot N'$.

Aplicar el mismo argumento a $ N'$ comenzamos un descenso infinito.

Es la prueba de la correcta ? Más corto pruebas ?

Answer 1

Para hacer la última parte de la argumentación de @lsp explícita, si un cuadrado $x^2$ termina en $6$, luego los dos últimos dígitos decimales de $x$

• cualquiera de las $a4$, y, a continuación, $$ x^2 \equiv (a \cdot 10 + 4)^2 \equiv \cdot 80 + 16 \pmod{100}, $$
• o $a6$, y, a continuación, $$ x^2 \equiv (a \cdot 10 + 6)^2 \equiv \cdot 120 + 36 \pmod{100}. $$

En ambos casos el último-pero-un dígito es realmente extraño.

Answer 2

Si $N=10^{2n}.P$, $10^{2n}$ ya es un cuadrado perfecto. Sólo tenemos que comprobar si $P$ es un cuadrado.

Ya que puede terminar con '$06$' o '$66$' esto no es un cuadrado perfecto como cuadrados perfectos terminando con '$6$' siempre debe de tener un número IMPAR de diez.

Answer 3

Deje $a_1a_2a_3...00$ ser un número cuadrado con $2k$ número de ceros al final, y el número se acaba de hacer de $0's$ $6's$

Supongamos que una plaza, $x^2=a_1a_2a_3...00$

$x^2=a_1a_2...00=a_1a_3x_4..a_m.10^{2k}$

Lo que significa que $a_1a_3a_4..a_m$ es también un cuadrado, ya que $a_{m-1}a_m=06$ o $66$.

$a_1a_2..a_m= 2\mod 4$.

Contradicción. Por lo tanto, no hay ninguna plaza! Y sí. Su argumento es correcto. :)