Para 1, espacios en los que los subconjuntos discretos son en la mayoría de los contables, y estos son llamados espacios con "contables spread" en la topología. Aquí, la propagación $s(X)$ de un espacio de $X$ se define como el supremum de las cardinalidades de todos los discretos subespacios de $X$, donde por convención de un número finito de supremum se redondea a $\aleph_0$ (sólo infinita cardenales se utilizan, también, porque cada infinito espacio de Hausdorff tiene una contables discretos subconjunto (para espacios con un número finito de propagación sería "patológico" no-espacios de Hausdorff, o finita, para empezar).
Si un espacio es segundo contable, a continuación, cada subespacio es segundo contable demasiado, y un discreto segundo contables espacio es en la mayoría de los contables, por lo que un segundo contables espacio ha contables de propagación. Pero este argumento se repite para otras clases de espacios: si cada subespacio de $X$ es separable ($X$ a continuación, se llama hereditariamente separables) o cada subespacio de $X$ es Lindelöf ($X$ a continuación, se llama hereditariamente Lindelöf), a continuación, $X$ ha contables extendido demasiado (como Lindelöf espacio discreto o separables un espacio diferenciado de ambos debe ser contables). Para metrizable espacios, contables extensión es equivalente a ser separables, o Lindelöf, o segundo contables. Ver mi post sobre la topología del atlas, pero en general esto no tiene que ser el caso. Pero el Wolfram cita tal vez proviene del hecho de que muchas de las matemáticas se hace separables metrizable espacios, como la distancia Euclídea espacios.
Un ejemplo de un separable espacio compacto que no tiene contables de propagación es $\beta(\omega)$ o $[0,1]^{\omega_1}$.
Como a las 2 de la propiedad de que todos los subconjuntos finitos son discretos es equivalente a ser $T_1$ (definido como todo singleton conjuntos son cerrados, o para cada $x \neq y$$X$, hay conjuntos de $U$ $V$ tal que $x \in U, y \notin U$$y \in V, x \notin V$). Esto ya se deduce de la consideración de los subconjuntos de 2 puntos.
Como a 3, la adición de una topología discreta a un conjunto no hace más topológico, como todas las funciones son continuas, no hay no-trivial convergente seuqneces o redes, etc. Así que un discreto topología no agrega ninguna información. Es cierto, por ejemplo, que cualquier grupo puede siempre se puede dar una topología discreta y, a continuación, es un grupo topológico (el grupo de operaciones son continuas), pero si aplicamos los teoremas de la teoría general de grupos topológicos, no podemos probar nada nuevo que no pudimos probar por la simple álgebra/grupo de teoría. Lo mismo vale para los otros tipos de finito (o no) las estructuras de matemáticas discretas: discreta aquí es opuesto a "continua", uno podría decir: no consideramos topológico o estructura analítica, pero sólo la estructura como un conjunto. La topología discreta es tan informativo como no topología en este caso....
