Espacio compacto, localmente finito subcover

Question

Este es un ejercicio de una topología libro.

$X$ es un espacio topológico. Si toda cubierta abierta de a $X$ tiene un localmente finito subcover, a continuación, $X$ es compacto.

Lo que he intentado: he considerado que la cubierta se compone de todos los subconjuntos de a $X$; esto tiene un localmente finito subcover. Por lo que podemos concluir que en este espacio cada punto en un número finito de abiertos conjuntos.

Answer 1

Supongamos primero que $X$ no es countably compacto, y deje $\mathscr{U}=\{U_n:n\in\omega\}$ ser una contables de apertura de la tapa de $X$ sin finito subcover. Para $n\in\omega$ deje $V_n=\bigcup\limits_{k\le n}U_k$, y deje $\mathscr{V}=\{V_n:n\in\omega\}$. Claramente $\mathscr{V}$ no tiene finita subcover. Supongamos que $A\subseteq \omega$ es infinito, y deje $m=\min A$; entonces cada punto de $V_m$ es en cada miembro de la $\{V_n:n\in A\}$, que no es por lo tanto, incluso de punto finito, digamos localmente finito. De ello se desprende que $X$ debe ser countably compacto.

Por otro lado, $X$ es, obviamente, paracompact y, por tanto, metacompact, y es un estándar resultado de que cada metacompact countably espacio compacto es compacto.

Por lo tanto, la hipótesis es en realidad más fuerte de lo necesario: es suficiente para asumir que cada apertura de la tapa tiene un punto finito subcover.

Añadido: La prueba no es muy difícil. Deje $\mathscr{U}$ ser una cubierta abierta de a $X$; por hipótesis de $\mathscr{U}$ tiene un punto finito subcover $\mathscr{V}$. Deje $\mathfrak{S}$ ser parte de la familia de subcovers de $\mathscr{V}$, ordenados por $\supseteq$. Supongamos que $\mathfrak{C}$ es una cadena en la $\mathfrak{S}$, y deje $\mathscr{C}=\bigcap\mathfrak{C}$; claramente $\mathscr{C}\subseteq\mathscr{V}$. Si $\mathscr{C}$ no es una cubierta de $X$, vamos a $x\in X\setminus\bigcup\mathscr{C}$. Deje $\mathscr{V}_x=\{V\in\mathscr{V}:x\in V\,\}$; para cada una de las $V\in\mathscr{V}_x$ no es un porcentaje ($\mathscr{C}_V\in\mathfrak{C}$tal que $V\notin\mathscr{C}_V$. $\mathscr{V}_x$ es finito, por lo que podemos enumerar $\mathscr{V}_x=\{V_1,\dots,V_n\}$ de tal manera que $\mathscr{C}_{V_1}\supseteq\dots\supseteq \mathscr{C}_{V_n}$. Pero, a continuación,$x\notin\bigcup\mathscr{C}_{V_n}$, lo cual es imposible, ya que $\mathscr{C}_{V_n}$ es un cover de $X$. Por lo tanto, $\mathscr{C}$ no cubre $X$, lo $\mathscr{C}\in\mathfrak{S}$, y es claramente un límite superior para $\mathfrak{C}$ en $\mathfrak{S}$. $\mathfrak{C}$ fue arbitraria de la cadena en $\mathfrak{S}$, por tanto, por el lema de Zorn $\mathfrak{S}$ $\supseteq$- elemento maximal $\mathscr{W}$. En otras palabras, $\mathscr{W}$ es un subcover de $\mathscr{V}$ sin el adecuado subcover: cada miembro de $\mathscr{W}$ contiene al menos un punto de $X$ que no está en ningún otro miembro de $\mathscr{W}$. Esta cubierta se dice irreducible, y hemos demostrado que cada punto finito abra la cubierta tiene una irreductible subcover.

Finalmente, se observa que un irreductible abra la cubierta $\mathscr{W}$ de un countably espacio compacto debe ser finito. Si no, vamos a $\mathscr{W}_0=\{W_n:n\in\omega\}$ ser un subconjunto infinito de $\mathscr{W}$, y deje $W=\bigcup\Big(\mathscr{W}\setminus\mathscr{W}_0\Big)$; a continuación, $\mathscr{W}_0\cup\{W\}$ es una contables de apertura de la tapa de $X$ sin finito subcover, ya que cada uno de los conjuntos de $W_n$ contiene al menos un punto en el que no están cubiertos por ningún otro miembro de la cubierta.

Answer 2

Revisado: Vamos a $X$ ser un noncompact espacio topológico. Debemos mostrarles a $X$ tiene una cubierta abierta sin localmente finito subcover. De hecho, podemos hacer un poco mejor. Deje $p \in X$ ser fijo y arbitrario. Vamos a producir una apertura de la tapa $\mathscr{V}$ $X$ de manera tal que cada subcover de $\mathscr{V}$ falla al ser de punto finito en $p$.

La reclamación. Hay una vecindad $U$ $p$ tal que $X \setminus U$ es noncompact.

Prueba de reclamación. Supongo que esto es falso y deje $\mathscr{U}$ ser una cubierta abierta de a $X$. Hay un $U \in \mathscr{U}$$p \in U$. Por supuesto, $X \setminus U$ es compacto, por lo que hay un número finito de familia $\mathscr{F} \subset \mathscr{U}$ cubriendo $X \setminus U$. A continuación, $\mathscr{F} \cup \{U\}$ es finita subcover de $\mathscr{U}$. Desde $\mathscr{U}$ fue arbitraria, se contradice nuestra suposición de que $X$ es noncompact. QED.

Deje $U$ como en la anterior afirmación. Desde $X \setminus U$ es noncompact, se ha abierto la cubierta $\mathscr{V}_0$ sin finito subcover. Deje $\mathscr{V} = \{ V \cup U : V \in \mathscr{V} _0\}$, de modo que $\mathscr{V}$ es una cubierta abierta de a $X$. Cualquier subcolección de $\mathscr{V}$ que es localmente finito en $p$ es finito, ya que cada conjunto en $\mathscr{V}$ contiene $p$) y, por lo tanto, no cubre $X \setminus U$ (desde $\mathscr{V}_0$ no tiene finita subcover).