La evaluación de $\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{x-i} dx$

Question

Me gustaría evaluar la integral $$\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{x-i} dx,$$ que creo que debería ser igual a $\frac{\pi}{e}$. Sin embargo, no puedo reproducir este resultado con la mano. Mi trabajo es como sigue: en primer lugar, evaluamos la integral indefinida.

\begin{align*} \int \frac{\sin x}{x-i} dx &= \int \frac{\sin(u+i)}{u} du \text{ where }u=x-i \\ &= \int \frac{\sin u \cos i + \cos u \sin i}{u} du \\ &= \mathrm{Si}(u) \cos i + \mathrm{Ci}(u) \sin i \\ &= \mathrm{Si}(x-i) \cosh 1 + i\mathrm{Ci}(x-i) \sinh 1 \\ \end{align*}

A continuación, insertamos los límites.

\begin{align*} \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{x-i} dx &= \mathrm{Si}(\infty-i) \cosh 1 + i\mathrm{Ci}(\infty-i) \sinh 1 \\ &\phantom{=}-\mathrm{Si}(-\infty-i) \cosh 1 - i\mathrm{Ci}(-\infty-i) \sinh 1 \\ &= \frac{\pi}{2}\cosh 1 + 0 +\frac{\pi}{2} \cosh 1 + \pi \sinh 1 \\ &= \pi (\cosh 1 + \sinh 1) \\ &= \pi e \end{align*}

Supongo que he hecho algún error en la manipulación del complejo de seno y coseno integrales, ya que el resultado sería correcto si $\mathrm{Ci}(-\infty-i)$ fueron evaluados a $-i \pi$. Sin embargo, no puedo localizar el error.

Answer 1

Escribir el pecado en función de la diferencia de dos exponenciales y obtener la correspondiente integrales por el contorno de la integración. Esto da el resultado: \begin{eqnarray*} I &=&\int_{-\infty }^{+\infty }dx\frac{1}{x-i}\sin x=\int_{-\infty }^{+\infty }dx\frac{1}{x-i}\frac{1}{2i}\left\{ e^{ix}-e^{-ix}\right\} \\ \int_{-\infty }^{+\infty }dx\frac{1}{x-i}e^{ix} &=&2\pi ie^{-1} \\ \int_{-\infty }^{+\infty }dx\frac{1}{x-i}e^{-ix} &=&0 \\ I &=&\frac{1}{2i}2\pi ie^{-1}=\frac{\pi }{e} \end{eqnarray*}

Answer 2

El error es simple--$\mathrm{Ci}$ tiene una rama cortada en todo el eje real negativo, por lo $\mathrm{Ci}(-\infty - i)$ hecho debe evaluar a $-i \pi$ en lugar de $i \pi$.