La incoherencia que veo entre los temas matemáticos me confunde mucho. Entiendo que no es posible que $e^x$ sea menor que cero para el real $x$ , por lo que probablemente se diga que la integral es $\ln(|x|)$ .
Antes de divagar demasiado, sólo quiero preguntar: ¿Existe una serie de pautas a seguir para ayudarme a elegir si dejar la integral de $\frac{1}{x}$ igual a $\ln(x)$ o $\ln(|x|)$ ?
Gracias, Aralox
Recuerdo haber estudiado el logaritmo principal hace unos meses, y entender que Ln(z) = ln|z| + iArg(z). ¿Podrías mostrarme cómo integrar 1/x usando esto?
Correcto, y por eso la respuesta "más" correcta es que $\ln(x)$ sería la antiderivada, considerada como una función sobre los números complejos (aún no definida en cero). De modo que (como ejemplo) se podría utilizar $\ln(-x)=\ln(x)+i\pi$ a la manera de la respuesta de Rahul (con $c_2=i\pi$ que Euler trata maravillosamente como una constante a ignorar en algunos de sus trabajos).
Esto tiene el problema de que es una función multivaluada, pero tiene la ventaja de que esto permite elegir una rama consistente para integrar sobre todo tipo de contornos interesantes.
Por ejemplo, entonces la integral de $1/x$ sobre el círculo unitario (en $\mathbb{C}$ ) tiene que seguir de $\ln(1)=0$ a $\ln(1)=2\pi i$ dando $2\pi i-0 = 2\pi i$ donde aquí he seguido realmente la función por la superficie de Riemann, por así decirlo - obviamente ya no es una función. No es la forma en que solemos pensar en la FTC, por supuesto. Pero ese es realmente el valor de la integral de contorno.
Ver http://www.ma.utexas.edu/maxima/maxima_13.html para una solución de CAS a este problema.
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