Es la integral de $\frac{1}{x}$ igual a $\ln(x)$ o $\ln(|x|)$ ?

Question

La incoherencia que veo entre los temas matemáticos me confunde mucho. Entiendo que no es posible que $e^x$ sea menor que cero para el real $x$ , por lo que probablemente se diga que la integral es $\ln(|x|)$ .

Antes de divagar demasiado, sólo quiero preguntar: ¿Existe una serie de pautas a seguir para ayudarme a elegir si dejar la integral de $\frac{1}{x}$ igual a $\ln(x)$ o $\ln(|x|)$ ?

Gracias, Aralox

Answer 1

En sentido estricto, cualquier función de la forma $$F(x) = \begin{cases} \ln x + c_1 & \text{if } x > 0, \\ \ln (-x) + c_2 & \text{if } x <0 \end{cases}$$ definido sobre $\mathbb R \setminus \{0\}$ es una antiderivada válida. Compruébalo diferenciando $F(x)$ y conseguir $F'(x) = 1/x$ de vuelta para cualquier $x \ne 0$ .

La fórmula habitual, $\ln\lvert x\rvert + c$ es lo que obtienes cuando eliges $c_1 = c_2 = c$ . Alternativamente, como dice @Joe, cuando sólo se considera positivo $x$ , puede escribir simplemente $\ln x + c$ .

Answer 2

En general, es seguro escribir siempre:

$$\int \frac{1}{u} \ du = \ln \left| u \right| +C $$ donde $C$ es una constante.

Sin embargo, si la función es siempre positiva $\forall x \in \Bbb R\setminus \{0\}$ (asumiendo que es lo que estás integrando), puedes dejar de lado el valor absoluto.

Adenda del Logaritmo Complejo

Creo que este será útil ya que querías saber cómo integrarte con el registro complejo. También, este debería ser una buena lectura. Yo empezaría por la página 74 para lo que estás buscando.

Creo que podría ayudar a notar que si decimos $\log z$ es cualquier logaritmo a lo largo de alguna rama $B$ entonces $(\log z)' = \dfrac{1}{z} \forall z$ no en $B.$ Sin embargo, no importa cómo definamos el logaritmo complejo, siempre habrá alguna rama que no sea holomorfa.

Answer 3

La respuesta correcta es $\int \frac1x dx= \ln |x| +C$

El valor absoluto se omite a veces en los problemas de EDO. En cuanto a las directrices yo diría que se analice el problema y se vea si los valores de x estarán fuera del dominio cuando se resuelva.

Answer 4

Igual a $\ln(|x|)$ +c, en la que $c$ es constante.

Answer 5

Creo que la introducción de variables complejas aquí es innecesaria. La función $1/x$ es una función perfectamente definida en $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ y podemos preguntar si tiene una antiderivada en ese conjunto. En el eje real positivo, $\log(x)$ es una antiderivada. En el eje real negativo, $\log(-x)$ es una antiderivada (y $\log(x)$ no tiene sentido). Esto es confuso, así que escribimos $\log(|x|)$ para no tener que recordarlo. Tenga en cuenta que $\log(|x|) + C$ no es una buena notación, ya que la constante puede ser diferente en los ejes reales negativo y positivo.